Décompositions en élts simples (1/2)

Exercice 1.
Décomposer {R=\dfrac{n!}{x(x+1)\cdots(x+n)}} en élément simples dans {\mathbb{R}(X)}.
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La décomposition cherchée est de la forme : {R=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{\lambda_k}{x+k}}.

Pour obtenir {\lambda_k}, on multiplie {R} par {x+k} et on pose {x=-k}. On trouve : {\begin{array}{rl}\lambda_k&=\dfrac{n!}{\prod\limits_{0\le j\le n}^{j\ne k}(-k+j)}\\\\&=\dfrac{n!}{\prod\limits_{j=0}^{k-1}(-k+j)\prod\limits_{j=k+1}^{n}(-k+j)}\\\\&=\dfrac{(-1)^{k}n!}{\prod\limits_{j=0}^{k-1}(k-j)\prod\limits_{j=k+1}^{n}(-k+j)}\end{array}}Ainsi {\lambda_k=\dfrac{(-1)^{k}n!}{k!(n-k)!}=(-1)^k\dbinom{n}{k}}.

La décomposition est donc {R=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom nk\dfrac{(-1)^k}{x+k}}

Exercice 2.
Décomposer {R=\dfrac1{x^4(x-i)^3}} en élément simples dans {\mathbb{C}(X)}.
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La décomposition s’écrit :{\begin{array}{rl}R&=\dfrac{1}{x^4(x-i)^3}\\\\&=\dfrac{a}{x^4}+\dfrac{b}{x^3}+\dfrac{c}{x^2}+\dfrac{d}{x}+\dfrac{\alpha}{(x-i)^3}+\dfrac{\beta}{(x-i)^2}+\dfrac{\gamma}{x-i}\end{array}}Cela implique {\dfrac{1}{(x-i)^3}=a+bx+cx^2+dx^3+\text{o}(x^3)}.

On développe donc {f(x)=\dfrac{1}{(x-i)^3}} en {0} à l’ordre {3}. Or : {\begin{array}{rl}f(x)&=-i(1+ix)^{-3}\\\\&=-i\bigl(1-3ix-6x^2+10ix^3+\text{o}(x^3)\bigr)\\\\&=-i-3x+6ix^2+10x^3+\text{o}(x^3)\end{array}}On trouve donc {a=-i}, {b=-3}, {c=6i} et {d=10}.

Ensuite, la décomposition de {R} donne :{\dfrac1{x^4}=\alpha+\beta(x-i)+\gamma(x-i)^2+\text{o}(x-i)^2}Cela s’écrit aussi, en posant {x=i+y} :{\dfrac1{(i+y)^4}=\alpha+\beta y+\gamma y^2+\text{o}(y^2)}On développe donc {g(y)=\dfrac1{(i+y)^4}=\dfrac{1}{(1-iy)^4}} en {0} à l’ordre {2}.

On trouve {g(y)=(1-iy)^{-4}=1+4iy-10y^2+\text{o}(y^2)}.

Ainsi {\alpha=1}, {\beta=4i} et {\gamma=-10}.

En conclusion, le développement en éléments simples de R dans \mathbb{C}[X] est : {\begin{array}{rl}R&=\dfrac{1}{x^4(x-i)^3}\\\\&=-\dfrac{i}{x^4}-\dfrac{3}{x^3}+\dfrac{6i}{x^2}+\dfrac{10}{x}+\dfrac{1}{(x-i)^3}+\dfrac{4i}{(x-i)^2}-\dfrac{10}{x-i}\end{array}}Remarque : connaissant {a,b,c,d}, on pouvait trouver {\alpha,\beta,\gamma} de manière plus artisanale…

  • On multiplie {R} par {(x-i)^3} et on pose {x=i}.

    On trouve {\alpha=\dfrac{1}{i^4}=1}.

  • On fait tendre {x} vers {\infty} dans {xR(x)}.

    On trouve {d+\gamma=0}, donc {\gamma=-10}.

  • Pour trouver {\beta}, on peut par exemple poser {x=1} et identifier.
  • On peut aussi écrire :{\begin{array}{rl}R&=\cdots+\dfrac{6i}{x^2}+\dfrac{10}{x}+\dfrac{\beta}{(x-i)^2}-\dfrac{10}{x-i}\\\\&=\cdots+\dfrac{6i}{x^2}-\dfrac{10i}{x(x-i)}+\dfrac{\beta}{(x-i)^2}\end{array}}On fait ensuite tendre {x} vers {\infty} dans {x^2R(x)}.

    On trouve : {0=6i-10i+\beta} donc {\beta=4i}.

Exercice 3.
On pose {R=\dfrac{1-abx^2}{x^n(1-ax)(1-bx)}} (avec {a,b\ne0}, {a\ne b}, {n\ge 1}).
Décomposer {R} en élément simples dans {\mathbb{R}(X)}.
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La décomposition s’écrit : {\begin{array}{rl}R&=\dfrac{1-abx^2}{x^n(1-ax)(1-bx)}\\\\&=\dfrac{\lambda}{1-ax}+\dfrac{\mu}{1-bx}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\alpha_{n-k}}{x^k}\quad\text{(1)}\end{array}}On multiplie (1) par {1-ax} et on pose {x=\dfrac1a}. On trouve {\lambda=a^n}.

Pour des raisons évidentes de symétrie, on a {\mu=b^n}.

Après multiplication par {x^n(1-ax)(1-bx)}, l’égalité (1) donne : {\begin{array}{rl}1-abx^2&=(1-ax)(1-bx){\textstyle\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}\alpha_{n-k}x^{n-k}<br /> \\\\&\qquad+x^n\bigl(\lambda(1-bx)+\mu(1-ax)\bigr)\\\\&=(1-(a+b)x+abx^2)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\alpha_{k}x^{k}+\text{o}(x^{n-1})\\\\&=\alpha_0+\bigl(\alpha_1-(a+b)\alpha_0)x\\\\&\qquad+\displaystyle\sum_{k=2}^{n-1}\bigl(\alpha_k-(a+b)\alpha_{k-1}+ab\alpha_{k-2}\bigr)x^k+\text{o}(x^{n-1})\end{array}}L’identification des termes de degré {\le2} donne : {\begin{cases}\alpha_0=1\\ \alpha_1=a+b\\ \alpha_2=(a+b)\alpha_1-ab\alpha_0-ab=a^2+b^2\end{cases}}

Pour tout {k\in\{3,\ldots,n-1\}}, on trouve : {\alpha_k-(a+b)\alpha_{k-1}+ab\alpha_{k-2}=0}On reconnait une équation récurrente linéaire d’ordre {2}.

Son équation caractéristique est {t^2-(a+b)t+ab=0}, c’est-à-dire {(t-a)(t-b)=0}.

Il existe donc {u,v} tels que {\alpha_k=ua^k+vb^k} pour {k\in\{1,\ldots,n-1\}}.

Compte tenu de {\alpha_1,\alpha_2}, il vient {u=v=1} donc {\alpha_k=a^k+b^k} si {k\ge1}.

En conclusion, on a : {\begin{array}{rl}R&=\dfrac{1-abx^2}{x^n(1-ax)(1-bx)}\\\\&=\dfrac{a^n}{1-ax}+\dfrac{b^n}{1-bx}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{a^{n-k}+b^{n-k}}{x^k}\end{array}}

Exercice 4.
Décomposer {R=\dfrac{x^{11}}{(x^2+x+1)^4}} en élément simples dans {\mathbb{R}(X)}.
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On procède à des divisions successives par {B=x^2+x+1}.

  • {A=BQ_1+R_1}, avec {\begin{cases}R_1=-x-1\\ Q_1=x^9-x^8+x^6-x^5+x^3-x^2+1\end{cases}}

  • {Q_1=BQ_2+R_2}, avec {\begin{cases}R_2=3x+7\\Q_2=x^7-2x^6+x^5+2x^4-4x^3+2x^2+3x-6\end{cases}}

  • {Q_2=BQ_3+R_3}, avec {\begin{cases}R_3=3x-15\\Q_3=x^5-3x^4+3x^3+2x^2-9x+9\end{cases}}

  • {Q_3=BQ_4+R_4}, avec {\begin{cases}R_4=-15x+9\\Q_4=x^3-4x^2+6x\end{cases}}

On peut donc écrire : {\begin{array}{rl}A&=R_1+BQ_1=R_1+B(R_2+BQ_2)\\\\&=\cdots=R_1+BR_2+B^2R_3+B^3R_4+B^4Q_4\end{array}}On obtient alors :
{\begin{array}{rl}R&=\dfrac{A}{B^4}=Q_4+\dfrac{R_1}{B^4}+\dfrac{R_2}{B^3}+\dfrac{R_3}{B^2}+\dfrac{R_4}{B}\\\\&=x^3-4x^2+6x-\dfrac{x+1}{(x^2+x+1)^4}\\\\&\qquad+\dfrac{3x+7}{(x^2+x+1)^3}+\dfrac{3x-15}{(x^2+x+1)^2} -\dfrac{15x-9}{(x^2+x+1)}\end{array}}

Exercice 5.
On pose {R=\dfrac{x^5-x^2+1}{(x^2+1)^2(x+1)^2}}.
Décomposer {R} en élément simples dans {\mathbb{R}(X)}.
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La décomposition est de la forme : {R=\dfrac{a}{(x+1)^2}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{cx+d}{(x^2+1)^2}+\dfrac{ex+f}{x^2+1}}On trouve tout d’abord :{a=\displaystyle\lim_{x\rightarrow-1}(x+1)^2R(x)=\left.\dfrac{x^5-x^2+1}{(x^2+1)^2}\right|_{x=-1}=-\dfrac14}Ensuite, on trouve : {\begin{array}{rl}ci+d&=\left.(x^2+1)^2R(x)\right|_{x=i}=\left.\dfrac{x^5-x^2+1}{(x+1)^2}\right|_{x=i}\\\\&=\dfrac{i+2}{2i}=\dfrac12-i\text{\ Donc\ }\begin{cases}c=-1\\ d=\dfrac12\end{cases}\end{array}}On donne à {x} la valeur {0} et on obtient : {1=a+b+d+f\Rightarrow b=1-a-d-f=\dfrac34-f}On pose {x=j}, avec {j^3=1}, {1+j+j^2=0}, {R(j)=1}. On trouve : {\begin{array}{rl}1&=aj^2-bj+(cj+d)j-(ej+f)j^2\\\\&=\dfrac54+f-e+j\Bigl(\dfrac74+f-b\Bigr)\end{array}}Ainsi {0=\dfrac74+f-b=2f+1} donc {f=-\dfrac12} et {b=\dfrac54}.

De même, {1=\dfrac54+f-e=\dfrac34-e\Rightarrow e=-\dfrac14}.

La décomposition de {R} en élément simples dans {\mathbb{R}(X)} est donc : {R=\dfrac{-1}{4(x+1)^2}+\dfrac{5}{4(x+1)}-\dfrac{2x-1}{2(x^2+1)^2}-\dfrac{x+2}{4(x^2+1)}}