Coordonnées barycentriques

Exercice 1.
Soient {A,B,C} trois points non alignés du plan.
Soit {M} un point quelconque. On pose : {\lambda_A=\det(\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC}),\quad\lambda_B=\det(\overrightarrow{MC},\overrightarrow{MA}),\quad\lambda_C= \det(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})}

  1. Montrer que {\lambda_A+\lambda_B+\lambda_C\ne0}.
  2. Montrer que {M} est le barycentre de {(A,\lambda_A),(B,\lambda_B),(C,\lambda_C)}.

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  1. On trouve successivement :
    {\begin{array}{l}\lambda_A+\lambda_B+\lambda_C\\\\\quad=\det(\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC})+\det(\overrightarrow{MC},\overrightarrow{MA})+\det(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})\\\\\quad=\det(\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC})+\det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{MC})+\det(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB})\\\\\quad=\det(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC})+\det(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{AB})\\\\\quad=\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{MC})+\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM})=\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\end{array}}Et ce dernier déterminant est non nul car {A,B,C} sont non alignés.
  2. Il faut donc vérifier l’égalité {\lambda_A\,\overrightarrow{AM}+\lambda_B\,\overrightarrow{BM}+\lambda_C\,\overrightarrow{CM}=0}.

    Les vecteurs {\overrightarrow{MA}}, {\overrightarrow{MB}} et {\overrightarrow{MC}} sont liés.

    Supposons par exemple que {M} n’est pas sûr la droite {(AB)}.

    Alors : {\exists(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2,\;\overrightarrow{MC}=\lambda\overrightarrow{MA}+\mu\overrightarrow{MB}}. Ainsi : {\begin{array}{l}\lambda_A\,\overrightarrow{AM}+\lambda_B\,\overrightarrow{BM}+\lambda_C\,\overrightarrow{CM}\\\\=\det(\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC})\,\overrightarrow{AM}+\det(\overrightarrow{MC},\overrightarrow{MA})\,\overrightarrow{BM}+\det(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})\,\overrightarrow{CM}\\\\=\lambda\det(\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA})\,\overrightarrow{AM}+\mu\det(\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA})\,\overrightarrow{BM}\\\\\qquad+\det(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})\,(\lambda\overrightarrow{AM}+\mu\overrightarrow{BM})=0\end{array}}

Exercice 2.
Avec l’exercice 1, qu’obtient-on pour le centre {\Omega} du cercle circonscrit à {ABC} ?
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Soit {\widehat a=(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}})}, {\widehat b=(\widehat{\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}})} et {\widehat c=(\widehat{\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}})}.

On a {(\widehat{\overrightarrow{\Omega B},\overrightarrow{\Omega C}})=2\widehat a}, {(\widehat{\overrightarrow{\Omega C},\overrightarrow{\Omega A}})=2\widehat b} et {(\widehat{\overrightarrow{\Omega A},\overrightarrow{\Omega B}})=2\widehat c}.

De plus {\left\|{\overrightarrow{\Omega A}}\right\|=\left\|{\overrightarrow{\Omega B}}\right\|=\left\|{\overrightarrow{\Omega C}}\right\|=R} (rayon du cercle).

On a donc les égalités : {\lambda_A=R^2\sin2\widehat a,\quad\lambda_B=R^2\sin2\widehat b,\quad\lambda_C=R^2\sin2\widehat c}Finalement, après simplification par {R}, on constate que le centre {\Omega} du cercle circonscrit à {ABC} est le barycentre de {(A,\sin2\widehat a)}, {(B,\sin2\widehat b)} et {(C,\sin 2\widehat c)}.

Exercice 3.
Avec l’exercice 1, que peut-on dire du centre de gravité du triangle {ABC}?
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Soit {G} le centre de gravité du triangle {ABC}.

Il est le point d’intersection des médianes {(AI)}, {(BJ)} et {(CK)}.

On sait que {G} est le barycentre de {A,B,C} avec des poids identiques.

Mais l’exercice 1 montre qu’il est leur barycentre avec les poids {\lambda_A,\lambda_B,\lambda_C}.

Autrement dit, {\lambda_A=\lambda_B=\lambda_C}, c’est-à-dire : {\det(\overrightarrow{GB},\overrightarrow{GC})=\det(\overrightarrow{GC},\overrightarrow{GA})=\det(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB})}Les triangles {GAB}, {GBC} et {GCA} ont donc même surface.

Remarque : les six triangles {GAK}, {GKB}, {GBI}, etc. ont la même surface.

Exercice 4.
Avec l’exercice 1, qu’obtient-on pour le centre du cercle inscrit au triangle {ABC}?
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Soit {I} le centre du cercle inscrit au triangle {ABC}.

Il est à la même distance {r} des trois cotés du triangle {ABC}.

Notons {a,b,c} les longueurs de {[B,C]}, {[C,A]} et {[A,B]}.

Avec ces notations, on a : {\lambda_A=\det(\overrightarrow{MB},\quad\overrightarrow{MC})=\dfrac12\,ar,\quad\lambda_B=\dfrac12\,br,\quad\lambda_C=\dfrac12\,cr}Ainsi {I} est le barycentre de {(A,a)}, {(B,b)} et {(C,c)}.