Applications linéaires en dim finie (1/3)

Exercice 1.
Soit {E} un espace vectoriel de dimension {n\ge1}.
Soit {f} un endomorphisme de {E} tel que {f^n=0} et {f^{n-1}\ne0}.
Soit {x} un vecteur de {E} tel que {f^{n-1}(x)\ne0}.
Montrer que la famille {x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x)} est une base de {E}.
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Exercice 2.
Soit {f\in{\mathcal L}(E,F)} et {g\in{\mathcal L}(F,G)}, {E} étant de dimension finie.
Montrer que {\dim(\text{Im} f\cap\text{Ker} g)=\dim\text{Im} f-\dim\text{Im}(g\circ f)}.
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Exercice 3.
Soit {f} et {g} deux endomorphismes de {E} (de dimension finie).
On suppose que {E=\text{Im} f+\text{Im} g=\text{Ker} f+\text{Ker} g}.
Montrer que ces deux sommes sont directes.
Montrer que ce résultat n’est plus vrai si {\dim E=+\infty}.
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Exercice 4.
Montrer que {\varphi:P\to P+P'} est un automorphisme de {\mathbb{K}[X]}.
En est-il de même avec {P\mapsto\psi_\lambda(P)=\lambda P-XP'}, où {\lambda\in\mathbb{R}}?
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Exercice 5.
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension finie {n}.
Soit {f} un endomorphisme de {E}.

  1. On suppose que pour tout {u} de {E}, il existe un entier {m} tel que {f^m(u)=0}.
    Montrer qu’il existe un entier {p} tel que pour tout {u} de {E}, {f^p(u)=0}.
  2. Montrer que ce résultat est faux si {\dim(E)=+\infty}.

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