Applications linéaires en dim finie (1/3)

Exercice 1.
Soit {E} un espace vectoriel de dimension {n\ge1}.
Soit {f} un endomorphisme de {E} tel que {f^n=0} et {f^{n-1}\ne0}.
Soit {x} un vecteur de {E} tel que {f^{n-1}(x)\ne0}.
Montrer que la famille {x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x)} est une base de {E}.
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Il suffit de prouver que les {n} vecteurs {x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x)} sont libres.

Soit {\lambda_0,\lambda_1,\ldots,\lambda_{n-1}} dans {\mathbb{R}} tels que {\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\lambda_kf^k(x)=0}.

Supposons par l’absurde que {(\lambda_0,\ldots,\lambda_{n-1})\ne0}.

Soit {k_0} minimum tel que {\lambda_{k_0}\ne0}.

L’égalité {\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\lambda_kf^k(x)=0} devient : {\lambda_{k_0}f^{k_0}(x)+\displaystyle\sum_{k=k_0+1}^{n-1}\lambda_kf^k(x)=0}

Si on compose par {f^{n-k_0+1}}, on obtient : {\lambda_{k_0}f^{n-1}(x)=0} ce qui est absurde.

Ainsi la famille {x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x)} est libre : c’est une base de {E}.

Exercice 2.
Soit {f\in{\mathcal L}(E,F)} et {g\in{\mathcal L}(F,G)}, {E} étant de dimension finie.
Montrer que {\dim(\text{Im} f\cap\text{Ker} g)=\dim\text{Im} f-\dim\text{Im}(g\circ f)}.
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D’après le théorème du rang appliqué à {f}, {\text{Im} f} est de dimension finie dans {F}.

Soit {h} la restriction de {g} à {\text{Im} f}.

On a {\text{Ker} h=(\text{Ker} g)\cap(\text{Im} f)} et {\text{Im} h=g(\text{Im} f)=\text{Im}(g\circ f)}.

On applique le théorème du rang {h} : {\dim\text{Im} f=\dim\text{Ker} h+\dim\text{Im} h}.

Exercice 3.
Soit {f} et {g} deux endomorphismes de {E} (de dimension finie).
On suppose que {E=\text{Im} f+\text{Im} g=\text{Ker} f+\text{Ker} g}.
Montrer que ces deux sommes sont directes.
Montrer que ce résultat n’est plus vrai si {\dim E=+\infty}.
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  1. On applique le théorème du rang :
    {\begin{cases}\dim E=\dim \text{Ker} f+\dim\text{Im} f&(1)\\ \dim E=\dim \text{Ker} g+\dim\text{Im} g&(2)\end{cases}}D’autre part, {E=\text{Im} f+\text{Im} g} et {E=\text{Ker} f+\text{Ker} g}. On en déduit :
    {\begin{cases}\dim E=\dim\text{Im} f+\dim\text{Im} g-\dim(\text{Im} f\cap\text{Im} g)&(3)\\\dim E=\dim\text{Ker} f+\dim\text{Ker} g-\dim(\text{Ker} f\cap\text{Ker} g)&(4)\end{cases}}La combinaison {(1)+(2)-(3)-(4)} donne : {\dim(\text{Im} f\cap\text{Im} g)+\dim(\text{Ker} f\cap\text{Ker} g)=0}Il en résulte {\dim(\text{Im} f\cap\text{Im} g)=\dim(\text{Ker} f\cap\text{Ker} g)=0}.

    Le sommes {E=\text{Im} f+\text{Im} g=\text{Ker} f+\text{Ker} g} sont donc directes.

  2. Pour montrer que c’est faux si {\dim E=+\infty}, on se place dans {E=\mathbb{K}[X]}.

    Soit f l’endomorphisme de {\mathbb{K}[X]} défini par {f:P\mapsto f(P)=P''}.

    Soit g l’endomorphisme de {\mathbb{K}[X]} défini par {g(P)=P(0)}.

    On a {\text{Ker}\,f=\mathbb{K}_1[X]}, et {f} est surjective donc {\text{Im} f=\mathbb{K}[X]}.

    On a {\text{Im}\,g=\mathbb{K}_1[X]} et son noyau est l’ensemble des polynômes divisibles par {X}.

    Ainsi {E=\text{Im} f+\text{Im} g} mais somme non directe car {\text{Im} f\cap\text{Im} g=\text{Im} g\ne\{0\}}.

    On a bien {E=\text{Ker} f+\text{Ker} g} (par exemple, {P=P(0)+\bigl(P-P(0)\bigr)} pour tout {P}).

    Enfin {\text{Ker} f\cap\text{Ker} g} est l’ensemble des {\lambda X}, avec {\lambda\in\mathbb{K}}.

    On a donc trouvé, {f,g\in{\mathcal L}(E)} tels que : {\begin{cases}E=\text{Im} f+\text{Im} g\\ E=\text{Ker} f+\text{Ker} g\end{cases}\text{\ et\ }\begin{cases}\text{Im} f\cap\text{Im} g\ne\{0\}\\ \text{Ker} f\cap\text{Ker} g\ne\{0\}\end{cases}}

Exercice 4.
Montrer que {\varphi:P\to P+P'} est un automorphisme de {\mathbb{K}[X]}.
En est-il de même avec {P\mapsto\psi_\lambda(P)=\lambda P-XP'}, où {\lambda\in\mathbb{R}}?
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  1. L’application {\varphi} est un endomorphisme de {\mathbb{K}[X]}.

    Pour tout {P}, on a {\deg\varphi(P)=\deg P} donc {\varphi(P)=0\Leftrightarrow P=0}.

    Ainsi l’application {\varphi} est injective, et la conservation du degré montre que la restriction {\varphi_n} de {\varphi} à {\mathbb{K}_n[X]} est un endomorphisme de {\mathbb{K}_n[X]}, toujours injectif.

    Puisque {\mathbb{K}_n[X]} est de dimension finie, c’est un isomorphisme de {\mathbb{K}_n[X]}.

    Ainsi : {\forall P\in\mathbb{K}_n[X]}, il existe un unique {Q\in\mathbb{K}_n[X]} tel que {P=\varphi_n(Q)=\varphi(Q)}.

    Ceci prouve la surjectivité de {\varphi}, qui est donc un automorphisme de {\mathbb{K}[X]}.

  2. L’application {\psi_\lambda} est un endomorphisme de {\mathbb{K}[X]}.

    Supposons que {P} soit e degré {n}, de coefficient dominant {a_n}.

    Posons {P=a_nX^n+Q}, avec {\deg Q\lt n}. Alors :{\begin{array}{rl}\psi_\lambda(P)&=\lambda(a_nX^n+Q)-X(na_nX^{n-1}+Q')\\\\&=(\lambda_n-n)a_nX^n+R\text{\ avec\ }\deg R\lt n\end{array}}

    • Si {\lambda} n’est pas un entier naturel, on a donc toujours {\deg\psi_\lambda(P)=\deg P}.

      Le même raisonnement qu’en 1) montre alors que {\psi_\lambda} est un isomorphisme.

    • On suppose {\lambda=n\in\mathbb{N}}. Le calcul précédent montre que :{\begin{cases}\deg P\le n\Rightarrow \deg\psi_n(P)\le n-1\\\deg P=m>n\Rightarrow\deg\psi_n(P)=m\end{cases}}En particulier aucun polynôme de degré {n} n’est dans {\text{Im}\,\psi_n}.

      Il s’ensuit que {\psi_n} n’est pas surjective : ce n’est pas un isomorphisme.

      On voit aussi que {\psi(X^n)=0}, donc {\psi_n} n’est pas injective.

      Plus précisément, {\text{Ker}\psi_n} est la droite {\alpha X^n} avec {\alpha\in\mathbb{K}}.

Exercice 5.
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension finie {n}.
Soit {f} un endomorphisme de {E}.

  1. On suppose que pour tout {u} de {E}, il existe un entier {m} tel que {f^m(u)=0}.
    Montrer qu’il existe un entier {p} tel que pour tout {u} de {E}, {f^p(u)=0}.
  2. Montrer que ce résultat est faux si {\dim(E)=+\infty}.

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  1. Soit {(e)=e_1,e_2,\ldots,e_n} une base de {E}.

    Pour tout {j\in\{1,\ldots,n\}}, il existe un entier {m_j} tel que {f^{m_j}(e_j)=0}.

    Soit {p=\max\,\{m_1,m_2,\ldots,m_n\}}.

    Pour tout {j\in\{1,\ldots,n\}}, on a {f^{p}(e_j)=0}.

    Par linéarité, on en déduit que {f^p} est l’application nulle, ce qu’il fallait démontrer.

  2. On se place dans {E=\mathbb{K}[X]} et on considère la dérivation {f:A\mapsto A'}.

    Pour tout polynôme {A}, et si {m>\deg A}, alors {f^m(A)=0}.

    Mais {f^p} (dérivation {p}-ième) n’est nulle pour aucun {p}.

    Le résultat de la question précédente n’est donc plus vrai en dimension infinie.