Applications linéaires en dim finie (3/3)

Exercice 1.
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie.
Soit {f} et {g} dans {{\mathcal L}(E)}, tels que {f\circ g=0} et {f+g\in\text{GL}(E)}.
Montrer que {\text{rg}(f)+\text{rg}(g)=\dim E}.
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Exercice 2.
Soit {f\in\mathcal{L}(E)}, avec {\dim E=n\lt \infty}. Montrer l’équivalence : {\text{Im}\,f=\text{Ker}\,f\Leftrightarrow\Bigl(f^2=0,\;n\text{\ est pair et rang}(f)=\frac n2\Bigr)}Montrer qu’alors il existe une base de {E} de la forme : {u_1,u_2,\ldots,u_p,f(u_1),f(u_2),\ldots,f(u_p)}
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Exercice 3.
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie sur {\mathbb{R}}.
Soit {f} un endomorphisme de {E} tel que {f^3=\text{Id}}.

  1. Montrer que {\begin{cases}\text{Im}(f-\text{Id})\subset\text{Ker}(f^2+f+\text{Id})\\ E=\text{Im}(f-\text{Id})\oplus\text{Ker}(f-\text{Id})\end{cases}}
  2. Soit {x} un vecteur non nul de {\text{Im}(f-\text{Id})}.
    Montrer que {f(x)\in\text{Im}(f-\text{Id})} et que {x} et {f(x)} sont libres.

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Exercice 4.
Dans {E=\mathbb{R}_3[X]}, on pose {A=X^4-1} et {B=X^4-X}.
Pour tout P\in E, on note \varphi(P) le reste {R} dans division de {AP} par {B}.
Montrer que {\varphi} est un endomorphisme de {E}. Noyau? Image ?
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