Applications linéaires (4/4)

Exercice 1.
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}.
Déterminer les couples {(f,g)\in\mathcal{L}(E)^2} tels que : {\begin{cases}f\circ g=f\cr g\circ f=g\end{cases}}
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Soit {(f,g)} un tel couple d’endomorphismes de {E} (il en existe, par exemple {f=g=0}).

On constate que {f^2=(f\circ g)\circ f=f\circ(g\circ f)=f\circ g=f}.

De même {g^2=g} (car {f} et {g} jouent le même rôle).

Ainsi {f} et {g} sont des projections vectorielles.

Mais {f\circ g=f\Rightarrow\text{Ker} g\subset\text{Ker} f}, et par symétrie {\text{Ker} f\subset\text{Ker} g}.

Supposons réciproquement que {f} et {g} soient deux projecteurs de même noyau.

  • Si {x\in\text{Ker} f=\text{Ker} g}, alors {(f\circ g)(x)=0=f(x)}.
  • Si {x\in\text{Im} g=\text{Inv}\, g}, alors {(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=f(x)}.

Ainsi {f\circ g} et {g} sont égales sur {\text{Ker} g} et sur {\text{Im} g}.

Elles le sont donc sur {\text{Ker} g\oplus\text{Im} g=E}.

On en déduit que {f\circ g=f}, et par symétrie {g\circ f=g}.

Conclusion : les solutions sont les couples {(f,g)} de projecteurs ayant le même noyau.

Exercice 2.
Soit {f,g} deux endomorphismes de {E} tels que {\begin{cases}f\circ g\circ f=f\\g\circ f\circ g=g\end{cases}}

  1. Montrer que {E=\text{Ker} f\oplus\text{Im} g}.
  2. Montrer que {f(\text{Im} g)=\text{Im} f}.

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  1. Supposons que {x=y+z}, avec {y\in\text{Ker} f} et {z=g(t)\in\text{Im} g}. Alors : {\begin{array}{rl}x=y+z=y+g(t)&\Rightarrow f(x)=f\circ g(t)\\\\&\Rightarrow g\circ f(x)=g\circ f\circ g(t)=g(t)=z\end{array}}On a donc nécessairement {z=g\circ f(x)} et {y=x-z=x-g\circ f(x)}.

    Réciproquement ces vecteurs {y,z} vérifient évidemment {y+z=x}, le vecteur {z=g\bigl(f(x)\bigr)} est bien dans {\text{Im} g}, et {f(y)=f(x)-f\circ g\circ f(x)=0} c’est-à-dire {y\in\text{Ker} f}.

    Ainsi la décomposition {x=y+z} existe et est unique.

    On a donc : {E=\text{Ker} f\oplus\text{Im} g}.

  2. On a toujours {f(\text{Im} g)\subset\text{Im} f}.

    Réciproquement soit {x'=f(x)} un élément de {\text{Im} f}.

    On sait que {x} s’écrit {x=y+z}, avec {y} dans {\text{Ker} f} et {z} dans {\text{Im} g}.

    Ainsi {x'=f(x)=f(y)+f(z)=f(z)}, donc {x'\in f(\text{Im} g)}.

    Conclusion : {f(\text{Im} g)=\text{Im} f}.

Exercice 3.
Soit {E,F,G} trois espaces vectoriels. Soit {f} dans {{\mathcal L}(E,F)} et {g} dans {{\mathcal L}(F,G)}.

On dit que {f,g} forment une suite exacte si {\text{Im} f=\text{Ker} g}.

On se donne les espaces vectoriels {E_k} et {F_k}, avec {k\in\{1,\ldots,5\}}.

On se donne les applications linéaires : {f_k:E_k\rightarrow E_{k+1},\;g_k:E_k\rightarrow E_{k+1},\;h_k:E_k\rightarrow F_{k}}On suppose que les suites {f_k,f_{k+1}} et {g_k,g_{k+1}} sont exactes.

On suppose qu’on a les égalités {h_{k+1}\circ f_k=g_k\circ h_k}.

La situation est résumée dans le schéma ci-dessous :
{\begin{array}{ccccccccc} & f_1 & & f_2 & & f_3 & & f_4 \\E_1 & \rightarrow & E_2 & \rightarrow & E_3 & \rightarrow & E_4 & \rightarrow & E_5\\ \downarrow\, h_1 & & \downarrow\, h_2 & & \downarrow\, h_3 & & \downarrow\, h_4 && \downarrow\, h_5\\F_1 & \rightarrow & F_2 & \rightarrow & F_3& \rightarrow & F_4 & \rightarrow & F_5\\ & g_1 & & g_2 & & g_3 && g_4\end{array}}

  1. Montrer que si {h_2,h_4} sont injectives et {h_1} est surjective alors {h_3} est injective.
  2. Montrer que si {h_2,h_4} sont surjectives et {h_5} est injective, alors {h_3} est surjective.

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  1. On suppose donc que {h_2,h_4} sont injectives et que {h_1} est surjective.

    Soit {u_3} un élément de {E_3}.

    On suppose que {h_3(u_3)=0}. Il faut prouver que {u_3=0}.

    On a {h_3(u_3)=0} donc {(g_3\circ h_3)(u_3)=0} donc {(h_4\circ f_3)(u_3)=0}.

    L’application {h_4} étant injective, on en déduit {f_3(u_3)=0}.

    Autrement dit {u_3} appartient à {\text{Ker} f_3} c’est-à-dire à {\text{Im} f_2}.

    Ainsi il existe {u_2} dans {E_2} tel que {u_3=f_2(u_2)}.

    L’égalité {h_3(u_3)=0} donne {(h_3\circ f_2)(u_2)=0} donc {g_2\circ h_2(u_2)=0}.

    Ainsi {h_2(u_2)} est dans {\text{Ker} g_2=\text{Im} g_1}.

    Soit {v_1} dans {F_1} tel que {h_2(u_2)=g_1(v_1)}.

    Puisque {h_1} est surjective, il existe {u_1} dans {E_1} tel que {v_1=h_1(u_1)}.

    On en déduit {h_2(u_2)=(g_1\circ h_1)(u_1)=(h_2\circ f_1)(u_2)}.

    Il en découle puis {u_2=f_1(u_1)} car {h_2} est injective.

    On trouve finalement {u_3=f_2(u_2)=(f_2\circ f_1)(u_1)=0} car {f_2\circ f_1=0}.

    On a donc prouvé l’injectivité de {h_3}.

  2. On suppose donc que {h_2,h_4} sont surjectives et que {h_5} est injective.

    Pour montrer que {h_3} est surjective on se donne {v_3\in F_3}.

    Il s’agit de prouver qu’il existe {u_3\in E_3} tel que {h_3(u_3)=v_3}.

    Posons {v_4=g_3(v_3)}.

    Puisque {h_4} est surjective, il existe {u_4\in E_4} tel que {v_4=h_4(u_4)}.

    On a {g_4(v_4)=(g_4\circ g_3)(v_3)=0} car {g_4\circ g_3=0}.

    On en déduit {(g_4\circ h_4)(u_4)=0}.

    Ainsi {(h_5\circ f_4)(u_4)=0} donc {f_4(u_4)=0} car {h_5} est injective.

    Ainsi {u_4} est dans {\text{Ker} f_4} donc dans {\text{Im} f_3}.

    Il existe donc {u'_3} dans {E_3} tel que {f_3(u'_3)=u_4}.

    On peut donc écrire :{g_3(v_3)=v_4=h_4(u_4)=(h_4\circ f_3)(u'_3)=(g_3\circ h_3)(u'_3)}Ainsi {g_3\bigl(v_3-h_3(u'_3)\bigr)=0}.

    Autrement dit {v_3-h_3(u'_3)\in\text{Ker} g_3=\text{Im} g_2}.

    Il existe donc {v_2\in F_2} tel que {v_3-h_3(u'_3)=g_2(v_2)}.

    Puisque {h_2} est surjective, il existe {u_2\in E_2} tel que {v_2=h_2(u_2)}.

    On a alors {v_3-h_3(u'_3)=(g_2\circ h_2)(u_2)=(h_3\circ f_2)(u_2)}.

    Il en découle {v_3=h_3\bigl(u'_3+f_2(u_2)\bigr)}.

    On a donc trouvé un antécédent de {v_3} par {h_3}.

    On a ainsi prouvé la surjectivité de {h_3}, ce qui achève la démonstration.

Exercice 4.
Soit {f} un endomorphisme de {E}.

  1. Montrer l’équivalence : {\text{Im} f+\text{Ker} f=E\Leftrightarrow\text{Im} f=\text{Im} f^2}.
  2. Montrer l’équivalence : {\text{Im} f\cap\text{Ker} f=\{0\}\Leftrightarrow\text{Ker} f=\text{Ker} f^2}.
  3. On suppose que {E} est de dimension finie.
    Montrer : {\text{Im} f=\text{Im} f^2 \Leftrightarrow \text{Ker} f=\text{Ker} f^2 \Leftrightarrow E=\text{Im} f\oplus\text{Ker} f}.

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On a toujours {\text{Im} f^2\subset \text{Im} f} (car si {u=f^2(v)}, alors {u=f(w)} avec {w=f(v)}).

De même, on a toujours {\text{Ker} f\subset \text{Ker} f^2} (car {f(u)=0\Rightarrow f^2(u)=0}).

Ainsi l’hypothèse {\text{Im} f=\text{Im} f^2} se résume à {\text{Im} f\subset\text{Im} f^2}.

De même l’hypothèse {\text{Ker} f=\text{Ker} f^2} se résume à {\text{Ker} f^2\subset\text{Ker}f}.

  1. Supposons {E=\text{Im} f+\text{Ker} f}. Montrons que {\text{Im} f\subset\text{Im} f^2}.

    Soit {v} dans {\text{Im} f}. Il existe {u\in E} tel que {v=f(u)}.

    Puisque {E=\text{Im} f+\text{Ker} f}, il existe {a\in E} et {b\in \text{Ker} f} tel que {u=f(a)+b}.

    On en déduit {v=f\bigl(f(a)+b\bigr)=f^2(a)+f(b)=f^2(a)} donc {v\in\text{Im} f^2}.

    Réciproquement, on suppose {\text{Im} f\subset\text{Im} f^2}. Montrons que {E=\text{Im} f+\text{Ker} f}.

    Soit {u\in E}. Alors {v=f(u)\in \text{Im} f\subset \text{Im} f^2}.

    Ainsi il existe {a\in E} tel que {f(u)=f^2(a)}.

    On en déduit {f\bigl(u-f(a)\bigr)=0}.

    Autrement dit le vecteur {b=u-f(a)} est dans {\text{Ker} f}.

    L’égalité {u=f(a)+b} montre donc que {E=\text{Im} f+\text{Ker} f}.

  2. Supposons {\text{Im} f\cap\text{Ker} f=\{0\}} et montrons que {\text{Ker} f^2\subset\text{Ker} f}.

    Soit {u} dans {\text{Ker} f^2}. Alors {v=f(u)} est dans {\text{Im} f} et dans {\text{Ker} f}.

    Il en résulte que {v} est nul, donc que {u\in\text{Ker} f}.

    Réciproquement, supposons {\text{Ker} f^2\subset\text{Ker} f}, et montrons {\text{Im} f\cap\text{Ker} f=\{0\}}.

    Soit {u\in\text{Im} f\cap\text{Ker} f}. Il existe {v\in E} tel que {u=f(v)}.

    On a {0=f(u)=f^2(v)}. Ainsi {v\in\text{Ker} f^2\subset \text{Ker} f}.

    Ainsi {u=f(v)} est nul: on a obtenu {\text{Im} f\cap\text{Ker} f=\{0\}}.

  3. On suppose maintenant {\dim E\lt \infty}.

    On a alors {\dim E=\dim\text{Im} f+\dim\text{Ker} f}.

    Dans ces conditions: {E=\text{Ker} f+\text{Im} f\Leftrightarrow\text{Im} f\cap\text{Ker} f=\{0\}}.

    On en déduit : {\begin{cases}E=\text{Ker} f\oplus\text{Im} f\Leftrightarrow E=\text{Ker} f+\text{Im} f\Leftrightarrow \text{Im} f\subset\text{Im} f^2\\\\E=\text{Ker} f\oplus\text{Im} f\Leftrightarrow\text{Im} f\cap\text{Ker} f=\{0\}\Leftrightarrow \text{Ker} f^2\subset\text{Ker} f\end{cases}}

    Finalement on a les équivalences : {E=\text{Ker} f\oplus\text{Im} f\Leftrightarrow \text{Im} f\subset\text{Im} f^2\Leftrightarrow \text{Ker} f^2\subset\text{Ker} f}