Applications linéaires (4/4)

Exercice 1.
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}.
Déterminer les couples {(f,g)\in\mathcal{L}(E)^2} tels que : {\begin{cases}f\circ g=f\cr g\circ f=g\end{cases}}
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Exercice 2.
Soit {f,g} deux endomorphismes de {E} tels que {\begin{cases}f\circ g\circ f=f\\g\circ f\circ g=g\end{cases}}

  1. Montrer que {E=\text{Ker} f\oplus\text{Im} g}.
  2. Montrer que {f(\text{Im} g)=\text{Im} f}.

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Exercice 3.
Soit {E,F,G} trois espaces vectoriels. Soit {f} dans {{\mathcal L}(E,F)} et {g} dans {{\mathcal L}(F,G)}.

On dit que {f,g} forment une suite exacte si {\text{Im} f=\text{Ker} g}.

On se donne les espaces vectoriels {E_k} et {F_k}, avec {k\in\{1,\ldots,5\}}.

On se donne les applications linéaires : {f_k:E_k\rightarrow E_{k+1},\;g_k:E_k\rightarrow E_{k+1},\;h_k:E_k\rightarrow F_{k}}On suppose que les suites {f_k,f_{k+1}} et {g_k,g_{k+1}} sont exactes.

On suppose qu’on a les égalités {h_{k+1}\circ f_k=g_k\circ h_k}.

La situation est résumée dans le schéma ci-dessous :
{\begin{array}{ccccccccc} & f_1 & & f_2 & & f_3 & & f_4 \\E_1 & \rightarrow & E_2 & \rightarrow & E_3 & \rightarrow & E_4 & \rightarrow & E_5\\ \downarrow\, h_1 & & \downarrow\, h_2 & & \downarrow\, h_3 & & \downarrow\, h_4 && \downarrow\, h_5\\F_1 & \rightarrow & F_2 & \rightarrow & F_3& \rightarrow & F_4 & \rightarrow & F_5\\ & g_1 & & g_2 & & g_3 && g_4\end{array}}

  1. Montrer que si {h_2,h_4} sont injectives et {h_1} est surjective alors {h_3} est injective.
  2. Montrer que si {h_2,h_4} sont surjectives et {h_5} est injective, alors {h_3} est surjective.

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Exercice 4.
Soit {f} un endomorphisme de {E}.

  1. Montrer l’équivalence : {\text{Im} f+\text{Ker} f=E\Leftrightarrow\text{Im} f=\text{Im} f^2}.
  2. Montrer l’équivalence : {\text{Im} f\cap\text{Ker} f=\{0\}\Leftrightarrow\text{Ker} f=\text{Ker} f^2}.
  3. On suppose que {E} est de dimension finie.
    Montrer : {\text{Im} f=\text{Im} f^2 \Leftrightarrow \text{Ker} f=\text{Ker} f^2 \Leftrightarrow E=\text{Im} f\oplus\text{Ker} f}.

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