Applications affines

Exercice 1.
Soit {f} une application affine telle que {\exists\, p\in \mathbb{N}^*,f^p = \text{Id}}.
Montrer que {f} admet au moins un point fixe.
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Exercice 2.
Dans \mathbb{R}^3, soit le plan {\mathcal{P}} d’équation {x+2y+z = 1}. Déterminer l’expression analytique de la symétrie {s} par rapport au plan {\mathcal{P}} et de direction la droite vectorielle {D} engendrée par le vecteur {(1,1,1)}.
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Exercice 3.
Dans \mathbb{R}^3, soit la droite {\mathcal{D}} d’équations {\begin{cases} x+y+1 = 0 \cr 2y+z+2 = 0\end{cases}}

Déterminer l’expression analytique de la symétrie {s} par rapport à la droite {\mathcal{D}} et de direction le plan vectoriel {P} d’équation {3x + 3y - 2z = 0}.

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Exercice 4.
Montrer que {f} définie par {\begin{cases}x' = 3x + 4y + 2z - 4 \cr y' = -2x - 3y - 2z + 4 \cr z' = 4x + 8y + 5z - 8.\end{cases}} est une affinité.
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