Applications affines

Exercice 1.
Soit {f} une application affine telle que {\exists\, p\in \mathbb{N}^*,f^p = \text{Id}}.
Montrer que {f} admet au moins un point fixe.
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Soit {A_0} un point quelconque.

On définit les points {A_1=f(A_0)}, {A_2=f^2(A_0)}, {\ldots}, {A_{p-1}=f^{p-1}(A_0)}.

Pour {0\le k\le p-1} on a {f(A_k)=A_{k+1}}, et on a {f(A_{p-1})=f^p(A_0)=A_0}.

L’ensemble {\mathcal{A}=\{A_0,A_1,\ldots,A_{p-1}\}} est donc globalement invariant par {f}.

Par conservation du barycentre, l’équibarycentre des points de {\mathcal{A}} est fixe par {f}.

Exercice 2.
Dans \mathbb{R}^3, soit le plan {\mathcal{P}} d’équation {x+2y+z = 1}. Déterminer l’expression analytique de la symétrie {s} par rapport au plan {\mathcal{P}} et de direction la droite vectorielle {D} engendrée par le vecteur {(1,1,1)}.
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Soit {M(x,y,z)} un point quelconque et {M'(x',y,',z')=s(M)}.
Il existe un réel {\lambda} tel que {M'=M+\lambda(1,1,1)} c’est-à-dire tel que {\begin{cases}x'=x+\lambda\cr y'=y+\lambda\cr z'=z+\lambda\end{cases}}
On écrit ensuite que {\dfrac12(M+M')} est dans {\mathcal{P}}.
Ainsi {x+x'+2(y+y')+z+z'=2} donc {\lambda=\dfrac12(1-x-2y-z)}.

Finalement, {s} est définie par le système {\begin{cases}x' =\dfrac12(x - 2y - z + 1)\phantom{\biggl(}\\ y' =\dfrac12(-x -z + 1)\phantom{\biggl(}\\ z' =\dfrac12(-x -2y +z +1)\phantom{\biggl(}\end{cases}}

Exercice 3.
Dans \mathbb{R}^3, soit la droite {\mathcal{D}} d’équations {\begin{cases} x+y+1 = 0 \cr 2y+z+2 = 0\end{cases}}

Déterminer l’expression analytique de la symétrie {s} par rapport à la droite {\mathcal{D}} et de direction le plan vectoriel {P} d’équation {3x + 3y - 2z = 0}.

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Une base de {P} est formée de {u=(1,-1,0)} et {v(2,0,3)}.

Soit {M(x,y,z)} un point quelconque et {M'(x',y,',z')=s(M)}.

Il existe {\lambda,\mu} tels que {M'=M+\lambda u+\mu v} c’est-à-dire {\begin{cases}x'=x+\lambda+2\mu\cr y'=y-\lambda\cr z'=z+3\mu\end{cases}}

On écrit ensuite que {\dfrac12(M+M')} est dans {\mathcal{D}}.

Ainsi {\begin{cases}x+x'+y+y'+2 = 0 \cr 2(y+y')+z+z'+4=0\end{cases}}

Il en résulte {\begin{cases}2x+\lambda+2\mu+2y-\lambda+2=0\cr 2(2y-\lambda)+2z+3\mu+4=0\end{cases}}

Finalement, on trouve {\begin{cases}\mu=-x-y-1\phantom{\biggl(}\\ \lambda=-\dfrac{3 x}2+\dfrac y2+z+\dfrac12\end{cases}}

En reportant, on obtient la définition analytique de {s} : {\begin{cases}x' = \dfrac12(-5x - 3y + 2z - 3)\phantom{\biggl(}\\ y' = \dfrac12(3x + y - 2z - 1)\phantom{\biggl(}\\ z' = -3x -3y +z -3\phantom{\biggl(}\end{cases}}

Exercice 4.
Montrer que {f} définie par {\begin{cases}x' = 3x + 4y + 2z - 4 \cr y' = -2x - 3y - 2z + 4 \cr z' = 4x + 8y + 5z - 8.\end{cases}} est une affinité.
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On a les équivalences : {\begin{array}{rl}f(M)=M&\Leftrightarrow \begin{cases}x=3x+4y+2z-4 \cr y=-2x-3y-2z+4\cr z=4x+8y+5z-8\end{cases}\\\\&\Leftrightarrow\begin{cases}x+2y+z=2\cr x+2y+z=2\cr x+2y+z=2\end{cases}\Leftrightarrow x+2y+z=2\end{array}}L’ensemble des points invariants par {f} est donc le plan {\mathcal{P}:x+2y+z=2}.

On constate que :{\begin{array}{rl}\overrightarrow{MM'}&=(x'-x,y'-y,z'-z)\\\\&=2(x+2y+z-2)u,\text{\ ou\ }u=(1,-1,2)\end{array}}Notons {H} la projection de {M} sur {\mathcal{P}} parallèlement à {u}.

Il existe {\lambda} tel que {H=M+\lambda u}.

Si on écrit {H\in\mathcal{P}} on obtient {(x+\lambda)+2(y-\lambda)+(z+2\lambda)=2}.

On trouve {\lambda=-x-2y-z+2}.

Donc {\overrightarrow{MM'}=-2\lambda u=2\overrightarrow{HM}}, donc {\overrightarrow{HM'}=3\overrightarrow{HM}}.

Ainsi {f} est l’affinité de base {{\mathcal P} : x + 2y + z = 2}, de direction {(1,-1,2)}, de rapport 3.