Structure d’anneau (1/2)

Exercice 1.
Soit {A} un anneau et {C=\{x\in A,\forall\, y\in A, xy=yx\}}.
Montrer que {C} est un sous-anneau de {A}.
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Tout d’abord {C\ne\emptyset} car il contient le neutre multiplicatif de {A}.

Soient {a,b} dans {C}, et soit {x} quelconque dans {A}. On a :{\begin{cases}(ab)x=a(bx)=a(xb)=(ax)b=(xa)b=x(ab)\\(a-b)x=ax-bx=xa-xb=x(a-b)\end{cases}}Ainsi {\begin{cases}ab\in C\\ a-b\in C\end{cases}} donc {C} est un sous-anneau de {A}.

Exercice 2.
Soit {A} un anneau tel que : {\forall\, (a,b)\in A^{\,2},\;(a^2-a)b=b(a^2-a)}.

  1. Montrer que {\forall\, (x,y,z)\in A^{\,3}, (xy+yx)z=z(xy+yx)}.
  2. Montrer que {A} est un anneau commutatif.

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  1. Soient {x,y,z} trois éléments quelconques de {A}.

    Il faut prouver l’égalité {(xy+yx)z=z(xy+yx)}.

    On utilise l’hypothèse avec {a=x+y} et {b=z}. On a donc : {\begin{array}{rl}(a^2-a)z&=((x+y)^2-x-y))z\\\\&=(x^2+xy+yx+y^2-x-y)z\\\\&=(x^2-x)z+(xy+yx)z+(y^2-y)z\\\\&=z(x^2-x)+(xy+yx)z+z(y^2-y)\text{\ (avec l'hypothèse)}\end{array}}Par un calcul analogue : {(a^2-a)z=z(a^2-a)=z(x^2-x)+z(xy+yx)+z(y^2-y)}En comparant les deux expressions de {(a^2-a)z}, on a bien : {(xy+yx)z=z(xy+yx)}

  2. Soient {x} et {y} deux éléments de {A}.

    En utilisant ce qui précède, on peut écrire : {(xy+yx)x=x(xy+yx)\text{\ donc\ }yx^2=x^2y}On a alors les égalités : {xy=x^2y-(x^2-x)y=yx^2-y(x^2-x)=yx}Conclusion : l’anneau {A} est commutatif.

Exercice 3.
Soit {A} un anneau sans élément nilpotent (autre que {0}).
Soit {a\in A} un élément idempotent (càd tel que {a^2=a}).
Montrer que {a} commute avec tout élément de {A}.
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Soit {b} un élément quelconque de {A}.

On doit montrer que {x=ab-ba} est nul.

On constate que : {\begin{cases}ax=a^2b-aba=ab-aba\\ xa=aba-ba^2=aba-ba\end{cases}}

Par addition, il en résulte {ax+xa=ab-ba=x}. D’autre part : {\begin{array}{rl}x=ax+xa&\Rightarrow ax=a^2x+axa=ax+axa\\\\&\Rightarrow axa=0\end{array}}On en déduit {0=x(axa)=(xa)^2}.

Ainsi {xa=0} (car pas de nilpotent sauf {0}).

De même : {0=(axa)x=(ax)^2\Rightarrow ax=0}.

On trouve finalement {x=ax+xa=0} c’est-à-dire {ab=ba}.

Exercice 4.
Soit {A} un anneau tel que : {\forall x\in A,\;x^2=x} (anneau de Boole).

  1. Donner des exemples d’une telle situation.
  2. Montrer que : {\forall a\in A,\;2a=0}. En déduire que {A} est commutatif.
  3. Montrer que {A} ne peut pas se réduire à trois éléments.
  4. On suppose que {A} est fini et de cardinal supérieur à {2}.
    Montrer que {A} possède des diviseurs de zéro (considérer {xy(x+y)}).
  5. Si {\text{Card}(A)=4}, montrer que {A} est unique à isomorphisme près.
  6. Montrer que si {A} est fini, son cardinal est une puissance de {2}.

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  1. Exemple {\mathbb{Z}_2=\{0,1\}} avec les lois {\begin{array}{c|cc}+&0&1\\-&-&-\\ 0&0&1\\1&1&0\end{array}} et {\begin{array}{c|cc}\times&0&1\\-&-&-\\ 0&0&0\\1&0&1\end{array}}

    Ou encore les anneaux produits {B=\mathbb{Z}_2^n}{\mathbb{Z}_2} a le sens précédent.

    Il y a encore {A=({\mathcal P}(E),\Delta,\cap)}, où {\Delta} est la différence symétrique.

  2. Soit {a} un élément de {A}. On a {(a+a)^2=a+a}.

    Ainsi {a^2+2a+a^2=a+a} donc {2a=0}.

    Ce résultat peut aussi s’écrire : {\forall\, a\in A,a=-a}.

    Pour tous {x,y} de {A}, on a : {\begin{cases}(x+y)^2=x+y\\ (x+y)^2=x^2+xy+yx+y^2=x+xy+yx+y\end{cases}}Il en découle {xy+yx=0}, c’est-à-dire {yx=-xy=xy}.

    En conclusion, l’anneau {A} est commutatif.

  3. Rappel : dans un anneau {A\ne \{0\}}, {0} (neutre additif) et {1} (neutre multiplicatif) sont distincts.

    Supposons {A=\{0,1,a\}}. Alors a+1 n’est ni égal à 0 (sinon {a=-1=1}) ni égal à {1} (car {a\ne 0}) ni égal à {a} (car {1\ne0}).

    On aboutit à une impossibilité : {A} ne peut pas être de cardinal {3}.

  4. On suppose donc que {A} est fini et qu’il est au moins de cardinal {4}.

    Soient {x\in A}, non nul et distinct de {1}.

    On a {x(x+1)=x^2+x=x+x=0}, avec {\begin{cases}x\ne 0\\x+1\ne 0\end{cases}}

    On constate donc que l’anneau {A} possède des diviseurs de zéro.

  5. Soit {A=\{0,1,a,b\}} un anneau de Boole de cardinal {4}.

    On sait que {1+a\notin\{0,1,a\}}. Donc {a+1=b}.

    De même {b+1=a}. On en déduit {a+b=2a+1=1}.

    Enfin {ab=a(a+1)=0} et {ba=b(a+1)=0}.

    On en déduit les tables des lois de {A} :
    {\begin{array}{c|cccc}+&0&1&a&b\\-&-&-&-&-\\0&0&1&a&b\\1&1&0&b&a\\a&a&b&0&1\\b&b&a&1&0\end{array}\quad\text{\ et\ }\quad\begin{array}{c|cccc}\times&0&1&a&b\\-&-&-&-&-\\0&0&0&0&0\\1&0&1&a&b\\a&0&a&a&0\\b&0&b&0&b\end{array}}
    On définit {\varphi:\mathbb{Z}_2^2\rightarrow A} par {\begin{cases}\varphi(0,0)=0,\;\varphi(1,1)=1\\\varphi(1,0)=a,\;\varphi(0,1)=b\end{cases}}

    On constate alors que {\varphi} est un isomorphisme d’anneaux.

    Ainsi {\mathbb{Z}_2^2} est le seul anneau de Boole à quatre éléments.

  6. {(A,+)} est un groupe fini dans lequel tout élément est son propre inverse.

    Il en découle que {\text{Card}(A)} est une puissance de {2}.

    On pourra se reporter à la solution d’un exercice précédent (sur les groupes).