Polynômes: divisibilité, racines (2/2)

Exercice 1.
Dans {\mathbb{R}[X]}, on pose {A=(X\sin\theta+\cos\theta)^n} et {B=X^2+1}.
Quel est le reste dans la division de A par B?
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Soit {A=BQ+R} la division de {A} par {B} dans {\mathbb{R}[X]}.

Cette division est aussi celle de A par B dans {\mathbb{C}[X]}.

Le polynôme {R} s’écrit {R=\alpha X+\beta}, avec {(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2}.

Comme on se place dans {\mathbb{C}[X]}, on peut évaluer {A=BQ+R} au point {i}.

Ainsi {A(i)=B(i)Q(i)+\alpha i+\beta}, avec {B(i)=0} et : {A(i)=(\cos\theta +i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta}En identifiant parties réelles et imaginaires, il vient {\begin{cases}\alpha=\sin n\theta\\ \beta=\cos n\theta\end{cases}}

Le reste dans la division de {A} par {B} est donc {R=(\sin n\theta)X+\cos n\theta}.

Exercice 2.
Soient {m,n,p,q} des entiers naturels.
Montrer que {B=X^3\!+\!X^2\!+\!X\!+\!1} divise {A=X^{4m+3}\!+\!X^{4n+2}\!+\!X^{4p+1}\!+\!X^{4q}.}
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Les polynômes {A} et {B} sont dans \mathbb{R}[X].

Mais {B\mid A} dans \mathbb{R}[X] équivaut à {B\mid A} dans \mathbb{C}[X].

On constate que {B=(X+1)(X-i)(X+i)}.

Pour montrer {B\mid A} il suffit donc de montrer que {A(-1)=A(i)=A(-i)=0}.

Or pour {\omega\in\{-1,i,-i\}}, on a : {\begin{array}{rl}A(\omega)&=(\omega^4)^m\,\omega^3+(\omega^4)^n\,\omega^2+(\omega^4)^p\,\omega+(\omega^4)^q\\\\&=\omega^3+\omega^2+\omega+1=B(\omega)=0\end{array}}

Conclusion : {B=X^3+X^2+X+1} divise {A=X^{4m+3}+X^{4n+2}+X^{4p+1}+X^{4q}}.

Exercice 3.
Déterminer un polynôme {A} unitaire de degré {3}, divisible par {(X-1)} et ayant le même reste dans les divisions par {(X-2)}, {(X-3)} et {(X-4)}.
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Notons {\lambda} le reste commun dans la division de {A} par {X-1,\;X-2,\;X-3}.

Il existe donc {Q_2,Q_3,Q_4} tels que {\begin{cases}A=(X-2)Q_2+\lambda\\A=(X-3)Q_3+\lambda\\ A=(X-4)Q_4+\lambda\end{cases}}

Ainsi {A-\lambda} est divisible par {X-2,\;X-3,\;X-4} donc par leur produit.

Mais le polynôme {A-\lambda} est unitaire.

On a donc exactement {A-\lambda=(X-2)(X-3)(X-4)}.

Il reste à utiliser la dernière hypothèse, qui s’exprime par {A(1)=0}.

On évalue {A-\lambda=(X-2)(X-3)(X-4)} en {1} et on trouve {\lambda=6}.

Le polynôme cherché est donc : {A=(X-2)(X-3)(X-4)+6=X^3-9X^2+26X-18}

Exercice 4.
On pose {A_n=X^{n+1}\cos(n\!-\!1)\theta-X^n\cos n\theta-X\cos\theta+1.}
Effectuer la division de A_n par {B=X^2-2X\cos\theta+1}.
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On constate que {A_0=0}, {A_1=B}.

Pour tout entier {k\ge0}, on a : {\begin{array}{rl}A_{k+1}-A_{k}&=X^{k+2}\cos k\theta-X^{k+1}\bigl(\cos (k\!+\!1)\theta+\cos(k\!-\!1)\theta\bigr)+X^{k}\cos k\theta\\\\&=X^{k+2}\cos k\theta-2X^{k+1}\cos\theta\cos k\theta +X^{k}\cos k\theta\\\\&=\bigl(X^{k}\cos k\theta\bigr)B\end{array}}Par sommation, on en déduit : {A_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(A_{k+1}-A_{k})=B\,\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}X^{k}\cos k\theta}Ainsi B divise A_n, et le quotient est {Q_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}X^{k}\cos k\theta}.

Exercice 5.
Soit {A\in\mathbb{K}[X]} dont les restes dans les divisions par {X\!-\!1,X\!-\!2,X\!-\!3} sont {3,7,13}. Donner le reste dans la division de {A} par {B=(X\!-\!1)(X\!-\!2)(X\!-\!3).}
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L’hypothèse signifie que {A(1)=1}, {A(2)=7} et {A(3)=13}.

La division de {A} par {B} s’écrit {A=BQ+R}, avec {\deg R\lt 3}.

Ainsi {R=aX^2+bX+C}, avec {(a,b,c)\in\mathbb{R}^3}.

On évalue {A=BQ+R} en {1,2,3}, sachant que {B(1)=B(2)=B(3)=0}.

Il vient {\begin{cases}A(1)=3=a+b+c\\ A(2)=7=4a+2b+c\\ A(3)=13=9a+3b+c\end{cases}} qui donne immédiatement {a=b=c=1}.

Le reste dans la division de {A} par {B} est donc {R=X^2+X+1}.