Polynômes: divisibilité, racines (1/2)

Exercice 1.
Soit {a,b,c} trois scalaires distincts et non nuls.

Soit {A=\dfrac{X(X\!-\!b)(X\!-\!c)}{a(a\!-\!b)(a\!-\!c)}+\dfrac{X(X\!-\!c)(X\!-\!a)}{b(b\!-\!c)(b\!-\!a)}+\dfrac{X(X\!-\!a)(X\!-\!b)}{c(c\!-\!a)(c\!-\!b)}}

Soit {B=1+\dfrac1{abc}(X-a)(X-b)(X-c)}. Montrer que {A=B}.

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On constate que {\deg A\le3} et que {\deg B=3}.

D’autre part {\begin{cases}A(a)=1=B(a)\\A(b)=1=B(b)\end{cases}} et {\begin{cases}A(b)=1=B(b)\\A(0)=0=B(0)\end{cases}}.

Ainsi {A} et {B} prennent la même valeur en plus de points que leurs degrés.

Il en découle que les polynômes {A} et {B} sont identiques.

Exercice 2.
Pour tout n\in\mathbb{N}, pose {A_n=a_nX^{n+1}+b_nX^n+1}.
Déterminer {a_n,b_n} pour que soit divisible par {B=(X-1)^2}.
Quel est alors le quotient {Q_n} dans la division?
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On a {(X-1)^2\mid A_n\Leftrightarrow A_n(1)=A_n'(1)=0}.

Cela équivaut à {\begin{cases}a_n+b_n=-1\\ (n+1)a_n+nb_n=0\end{cases}} c’est-à-dire {\begin{cases}a_n=n\\ b_n=-n-1\end{cases}}.

On trouve alors le polynôme {A_n=nX^{n+1}-(n+1)X^n+1}.

On constate que {A_0=0}. Et pour tout entier {k\ge1} :{\begin{array}{rl}A_k-A_{k-1}&=kX^{k+1}-(k+1)X^k-(k-1)X^{k}+kX^{k-1}\\\\&=kX^{k+1}-2kX^k+kX^{k-1}=kX^{k-1}(X-1)^2\end{array}}

On en déduit :{\begin{array}{rl}A_n&=A_n-A_0=\displaystyle\sum_{k=1}^n(A_k-A_{k-1})\\\\&=(X-1)^2\displaystyle\sum_{k=1}^nkX^{k-1}\end{array}}Le quotient dans la division de {A_n} par {(X-1)^2} est donc : {Q_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)X^{k}}

Exercice 3.
Quand {A=(X+1)^n-X^n-1} est-il divisible par {B=X^2+X+1} ?
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Pour étudier la divisibilité de {A_n} par {B}, on se place dans {\mathbb{C}[X]}.

On a {B=(X-j)(X-j^2)}, donc : {B\mid A_n\Leftrightarrow A(j)=A(j^2)=0}.

Puisque {A_n\in\mathbb{R}[X]}, on a {A_n(j^2)=\overline{A(j)}}.

Il suffit donc d’exprimer la condition {A_n(j)=0}. Or : {\begin{array}{rl}A_n(j)&=(j+1)^n-j^n-1=(-j^2)^n-j^n-1\\\\&=(-1)^nj^{2n}-j^n-1\end{array}}Cette expression est périodique de période {6}.

Avec {n=6q+r} et {r\in\{0,\ldots,5\}}, on a donc {A_n(j)=A_r(j)}.

On trouve successivement : {\begin{array}{lll}A_0(j)=-1\ne0&A_1(j)=-j^2-j-1=0&A_2(j)=j-j^2-1\ne0\\\\A_3(j)=-3\ne0&A_4(j)=j^2-j-1\ne0&A_5(j)=-j-j^2-1=0\end{array}}Conclusion : {B\mid A_n\Leftrightarrow n=6q+1\text{\ ou\ }n=6q+5}.

Exercice 4.
Soit {A=X^4-X^3-3X^2+3X-4} et {a=1+\sqrt[3]{2}}. Calculer A(a).
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On constate que {(a-1)^3=2}. Le réel {a} est racine de : {B=(X-1)^3-2=X^3-3X^2+3X-3}La division de {A} par {B} s’écrit {A=(X+2)B+2}.

On en déduit {A(2)=(a+2)B(2)+2=2}.