Pgcd et algorithme d’Euclide (2/2)

Exercice 1.
Pour tout {n} de {\mathbb{N}^{*}}, on note {E_{n}=\{0,1,\ldots,n-1\}}.

Pour {m\in\mathbb{N}^{*}}, on note {\varphi(n)=\text{card}\{k\in E_{n},\;k\wedge n=1\}} (indicatrice d’Euler).

Soient {m,n} dans {\mathbb{N}^{*}}, avec {m\wedge n=1}.

Soit {f : E_{m}\times E_{n}\rightarrow E_{mn}} définie par {f(x,y)=xn+ym\ [mn]}.

Montrer que {f} est bijective. En déduire que {\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)}.

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Exercice 2.
Prouver que pour tout {m\in\mathbb{Z}}, la fraction {\dfrac{21m+4}{14m+3}} est irréductible.
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Exercice 3.

  1. Soient {m} et {n} deux entiers premiers entre eux. Soient {a} et {b} deux entiers.
    On considère le système {(S):\ \begin{cases}x\equiv a\pmod m\cr x\equiv b\pmod n\end{cases}}
    Montrer que l’ensemble des solutions de (S) est une classe d’entiers modulo {mn}.
  2. Résoudre le système {\begin{cases}x\equiv 3\pmod {12}\cr x\equiv 5\pmod 9\end{cases}}

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Exercice 4.
Soient {x,y} deux entiers. Montrer que : {41\mid 25x+3y\;\Leftrightarrow\;41\mid31x+7y}.
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