Nombres premiers (2/2)

Exercice 1.
Soit {p} un nombre premier.

  1. Montrer que si {1\leq k\lt p}, alors {\dbinom pk} est divisible par {p}.
  2. En déduire que : {\forall (a,b)\in\mathbb{Z}^2,\;(a+b)^p\equiv a^p+b^p\pmod p}.
  3. Montrer que pour {n\in\mathbb{N}}, on a {n^p\equiv n\pmod p} (petit théorème de Fermat).
  4. Qu’obtient-on si {p} ne divise pas {n}?

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Exercice 2.
Trouver les nombres premiers dont l’écriture en base {b} utilise une fois et une seule tous les chiffres possibles de la base de numération (le {0} est possible en tête).
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Exercice 3.
Montrer que pour {(m,n)\in\mathbb{N}^2}, {N=mn(m^{60}-n^{60})} est divisible par {56786730}.
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Exercice 4.
En factorisant {641-k^{4}} pour {k\in\{1,2\}}, montrer que {F_{5}=2^{32}+1} n’est pas premier.
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Exercice 5.
On note {C=\{5,9,13,17,21,\ldots\}} l’ensemble des {4k+1}, avec {k\in\mathbb{N}}.
On dit qu’un entier {n} est irréductible sur {C} s’il ne peut pas s’écrire comme un produit d’éléments de {C} strictement inférieurs à {n}. De combien de façon peut-on écrire {4389} comme un produit d’entiers irréductibles sur {C}?
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Exercice 6.
Soit {(p_{k})_{k\ge1}} la suite strictement croissante des nombres premiers.
Pour tous {k,n} de {\mathbb{N}^{*}}, on note {N_{k}(n)} le nombre d’entiers de {\{1,\ldots,n\}} qui ne sont divisibles par aucun {p_{j}} avec {j>k}.
Pour tout {n} de {\mathbb{N}^{*}}, on note {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{p_{k}}}.
On se propose de montrer que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_{n}=+\infty}.

  1. Montrer que {N_{k}(n)\le 2^{k}\sqrt{n}}.
  2. On suppose que la suite (croissante) {n\mapsto S_{n}} est convergente, de limite {\ell>0}.
    Il existe donc un entier {k} tel que {\ell-S_{k}\lt \dfrac{1}{2}}.
    Utiliser cet entier {k} pour aboutir à une contradiction.

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