Lois de composition (3/3)

Exercice 1.
Soit {E} un ensemble muni d’une loi {\star} associative et commutative.
On suppose de plus que pour tout {x} de {E}, {x\star x=x}.

  1. Donner des exemples d’une telle situation.
  2. Montrer que {x{\mathcal R}y\Leftrightarrow x\star y=y} définit une relation d’ordre.
  3. Montrer alors que : {\forall(x,y)\in E^2,\;\sup\{x,y\}=x\star y}.

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Exercice 2.
Soit {(E,\le)} muni d’une loi {\star} telle que : {\forall\, (a,b,x)\in E^{\,3},\;\begin{cases}a\star b\le a,\quad a\star b\le b\\(x\le a)\text{\ et\ }(x\le b)\Rightarrow x\le a\star b\end{cases}}

  1. Montrer que la loi {\star} est commutative.
  2. Prouver que pour tout {a} de {E}, {a\star a=a}.
  3. Vérifier que {\begin{cases}a\le b\Rightarrow a\star c\le b\star c\\(a\le b)\text{\ et\ }(c\le d)\Rightarrow a\star c\le b\star d\end{cases}}
  4. Montrer que la loi {\star} est associative.

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Exercice 3.
Soit {E} un ensemble muni d’une loi {\star} associative.
Pour tout {a} de {E}, on pose : {\forall x\in E,\;\begin{cases}d_a(x)=x\star a\\g_a(x)=a\star x\end{cases}}

  1. On suppose qu’il existe {a\in E} tel que {g_a,d_a} soient surjectives.
    Montrer alors que {E} possède un neutre pour {\star}.
  2. On suppose que les applications {g_a} et {d_a} sont toujours surjectives.
    Montrer alors que tout élément de {E} est inversible pour {\star}.

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Exercice 4.
Soit {E} un ensemble fini muni d’une loi produit associative.
Montrer que : {\forall a\in E,\;\exists m\in\mathbb{N},\;\text{\ tel que\ }x=a^m\text{\ vérifie\ }x^2=x}.
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