Lois de composition (2/3)

Exercice 1.
Soit {E} un ensemble muni d’une loi produit associative.
Pour tout {a} de {E}, on note {aEa=\{axa, x\in E\}}.
On suppose : {\exists\, a\in E,\; aEa=E}. Montrer que {E} possède un neutre.
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Exercice 2.
Soit {E} un ensemble fini muni d’une loi de composition {\star}.
On suppose qu’il existe {a,b} dans {E} tels que, pour tous {x,y} : {\forall(x,y)\in E^2,\;\begin{cases}a\star x=a\star y\Rightarrow x=y\\ x\star b=y\star b\Rightarrow x=y\end{cases}}

  1. Montrer qu’il existe {e,f} dans {E} tels que {a\star e=a} et {f\star b=b}.
  2. Montrer que : {\forall x\in E,\;e\star x=x\text{\ et\ }x\star f=x}
  3. Montrer que {e=f}, et que cet élément est neutre pour {\star}.

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Exercice 3.
Soient {\mathcal{R}} et {\mathcal{S}} deux relations binéaires sur un ensemble E.
On définit la relation {\mathcal{T}=\mathcal{R}\star\mathcal{S}} par :
{x\mathcal{T} y\Leftrightarrow\exists\, z\in E, x\mathcal{R} z\text{\ et\ }z\mathcal{S} y}Montrer que la loi {\star} est associative.
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Exercice 4.
On définit sur {\mathbb{R}} la loi {x\star y=x+y+\sin(xy)}.

  1. Cette loi est-elle commutative? Existe-t-il un élément neutre?
  2. Montrer qu’il existe des éléments de {\mathbb{R}} admettant plusieurs inverses.
  3. En déduire que {\star} n’est pas associative.

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Exercice 5.
Combien y a-t-il de lois de composition sur un ensemble à {n} éléments ?
Combien de ces lois sont-elles commutatives ?
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