Lois de composition (1/3)

Exercice 1.
Soit {E} un ensemble muni de deux lois {\star} et {\bullet}.
On suppose que {e} est neutre pour {\star} et que {f} est neutre pour {\bullet}.
On suppose enfin que, pour tous {x,y,u,v} dans E : {(H):\quad (x\star y)\bullet(u\star v)=(x\bullet u)\star(y\bullet v)}

  1. Montrer que {e=f}.
  2. Prouver que les lois {\star} et {\bullet} sont identiques.
  3. Montrer que cette loi est commutative et associative.

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Exercice 2.
Soient {k} et {k'} deux nombres réels.
On définit la loi {\star} par : {x\star y=kxy+k'(x+y)}.
A quelle condition sur {k} et {k'} cette loi est-elle associative?
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Exercice 3.
Etudier {\star} définie sur {{\mathcal P}(E)} par {\begin{cases}A\star B=A\cup B\text{\ si\ }A\cap B=\emptyset\\A\star B=E\text{\ si\ }A\cap B\ne\emptyset\end{cases}}
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Exercice 4.
Etudier la loi {\star} définie sur {{\mathcal P}(E)} par : {A\star B=(A\cap B)\cup(\overline{A}\cap\overline{B})}.
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Exercice 5.
Soit {E} un ensemble fini muni d’une loi {\star} associative.
On suppose que {E} possède un neutre {e} pour {\star}

  1. Montrer que tout élément régulier (simplifiable) {a\in E} est inversible.
  2. Cette propriété subsiste-t-elle si {E} est infini?

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