Groupes et sous-groupes (5/5)

Exercice 1.
Soit {G} un groupe. On suppose qu’il existe {k\in\mathbb{N}} tel que : {\forall\, i\in\{k,k+1,k+2\},\;\forall\, a,b\in G,\;(ab)^i=a^ib^i}Montrer que {G} est un groupe abélien.
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Soient {x,y} deux éléments quelconques de {G}.

Par hypothèse, on a l’égalité {(xy)^{k+1}=x^{k+1}y^{k+1}}.

Mais cette égalité s’écrit aussi {x(yx)^ky=x(x^ky^k)y}.

On simplifie par {x} à gauche et par {y} à droite.

On obtient {(yx)^k=x^ky^k} donc {(yx)^k=(xy)^k}.

De même (remplacer {k} par {k-1}), on a : {(yx)^{k-1}=(xy)^{k-1}}.

Par passage aux inverses, on en déduit {(yx)^{1-k}=(xy)^{1-k}}.

Par produit,les égalités {\begin{cases}(yx)^k=(xy)^k\\ (yx)^{1-k}=(xy)^{1-k}\end{cases}} donnent {yx=xy}.

Le groupe {G} est donc abélien.

Exercice 2.
Soit {G} un groupe et {H} une partie de {G}, finie non vide et stable.
Montrer que {H} est un sous-groupe de {G}.
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Il suffit de montrer que H est stable par passage à l’inverse.

Soit x\in H. Puisque {H} est stable, on a \{x^n,\;n\in\mathbb{N}\}\subset H.

Mais {H} est fini, donc {n\mapsto x^n} ne peut pas être injective.

Il existe donc {n,p}, avec {p>n}, tels que {x^n=x^p}.

On simplifie par {x^n} et on trouve {x^{p-n}=e}.

Ainsi {e\in H} et {x^{p-n-1}\in H} est l’inverse de {x}.

Conclusion : {H} est un sous-groupe de {G}.

Exercice 3.
On considère les fonctions de {\mathbb{R}-\{0,1\}} dans lui-même, définies par : {\begin{array}{lll}f_1(x)=x&f_2(x)=\dfrac1{1-x}&f_3(x)=\dfrac{x-1}x\\\\f_4(x)=\dfrac1x&f_5(x)=1-x&f_6(x)=\dfrac x{x-1}\end{array}}

  1. Montrer qu’elles forment un groupe {G} pour la loi {\circ}.
  2. Quels sont les sous-groupes de {G} ?

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  1. Il est clair que chaque {f_k} est une bijection de {(\mathbb{R}-\{0,1\})} sur lui-même.

    On forme facilement la table des {f_i\circ f_j} : {\begin{array}{c|cccccc}\circ& f_1 & f_2 & f_3 & f_4 & f_5 & f_6\\-&-&-&-&-&-&-\\f_1 & f_1 & f_2 & f_3 & f_4 & f_5 & f_6\\f_2 & f_2 & f_3 & f_1 & f_6 & f_4 & f_5\\f_3 & f_3 & f_1 & f_2 & f_5 & f_6 & f_4\\f_4 & f_4 & f_5 & f_6 & f_1 & f_2 & f_3\\f_5 & f_5 & f_6 & f_4 & f_3 & f_1 & f_2\\f_6 & f_6 & f_4 & f_5 & f_2 & f_3 & f_1\end{array}}On constate que {G} est stable pour la loi {\circ}.

    Enfin tout élément de {G} a un symétrique dans {G}.

    Plus précisément, les fonctions {f_1}, {f_4}, {f_5} et {f_6} sont involutives et sont donc leur propre inverse, alors que les fonctions {f_2} et {f_3} sont inverses l’une de l’autre.

    Ainsi {G} est un sous-groupe du groupe des bijections de {\mathbb{R}-\{0,1\}}.

  2. Les sous-groupes de {G} sont nécessairement d’ordre {1}, {2}, {3} ou {6}.

    Le seul sous-groupe d’ordre {1} est {\{f_1\}}.

    Le seul sous-groupe d’ordre {6} est {G} lui-même.

    Les sous-groupes d’ordre {2} sont {\{f_1,f_4\}}, {\{f_1,f_5\}} et {\{f_1,f_6\}}.

    Le seul sous-groupe d’ordre {3} est {\{f_1,f_2,f_3=f_2^2\}}.

Exercice 4.
Soient {H} et {K} deux sous-groupes d’un groupe {G}.
Montrer que : ({H\cup K} sous-groupe de {G}) {\Leftrightarrow (H\subset K\text{\ ou\ }K\subset H}).
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Si {H\subset K} ou {K\subset H}, {H\cup K} est bien sûr un sous-groupe de {G}.

Réciproquement, on suppose que {H\cup K} est un sous-groupe de {G}.

Supposons de plus {H\not\subset K}. Alors on doit montrer {K\subset H}.

Par hypothèse il existe un élément {a} tel que {a\in H,a\notin K}.

Soit {x} un élément quelconque de {K}.

Puisque {x,a} sont dans le sous-groupe {H\cup K}, il en est de même de {xa}.

Or {xa\in K} impliquerait {a=x^{-1}(xa)\in K}, ce qui n’est pas.

Ainsi {xa\in H}, ce qui prouve {x=(xa)a^{-1}\in H}.

On a donc l’inclusion {K\subset H}, ce qui achève la démonstration.

Exercice 5.
Soit {(H_i)_{i\in I}} une famille non vide de sous-groupes d’un groupe {G}.
On suppose que pour tous {i,j} il existe {k} tel que {H_i\cup H_j\subset H_k}.
Montrer que {H=\bigcup H_i} est un sous-groupe de {G}.
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Tout d’abord {H\ne\emptyset}. Soient {a} et {b} deux éléments de {H}.

Il existe {i,j} dans {I} tels que {a\in H_i} et {b\in H_j}.

Soit {k\in I} tel que {H_i\cup H_j\subset H_k}.

Puisque {a,b} sont dans le sous-groupe {H_k}, il en est de même de {b^{-1}a}.

Mais {b^{-1}a\in H_k\Rightarrow b^{-1}a\in H} : ainsi {H} est un sous-groupe de {G}.

Exercice 6.
Soit {G} un groupe fini d’ordre {2n}, avec {n\ge2}.
On suppose qu’il existe deux sous-groupes {H,K} d’ordre {n}, tels que {H\cap K=\{e\}}.
Montrer que {n=2} et donner la table du groupe {G}.
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Par hypothèse, on a : {\text{Card}\,(H\cup K)=2n-1}.

Il existe donc {a\in G\setminus(H\cup K)} tel que {G=H\cup K\cup\{a\}}.

Soient {x\in H} et {y\in K}, distincts de {e} (donc x\ne y).

On ne peut avoir {xy\in H}, car il en découlerait {y=x^{-1}(xy)\in H}.

De même {xy\notin K}. Ainsi {xy=a}, et de même {yx=a}.

Pour tout {x'\in H}, et avec le même {y\in K}, on a alors {x'y=a}.

On en déduit {xy=x'y} puis {x=x'}.

Ainsi {H-\{e\}} est un singleton (idem pour {K}). Donc {n=2}.

Si {\begin{cases}H=\{e,x\}\\ K=\{e,y\}\end{cases}} on en déduit la table de {G=\{e,a,x,y\}} : {\begin{array}{c|cccc}\star& e & a & x & y\\-&-&-&-&-\\e & e & a & x & y\\a & a & e & y & x\\x & x & y & e & a\\y & y & x & a & e\end{array}}