Groupes et sous-groupes (4/5)

Exercice 1.
Montrer que {\mathbb{R}}, muni de la loi {x\star y=(x^3+y^3)^{1/3}} est un groupe.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Considérons l’application {\varphi} défini sur {\mathbb{R}} par {\varphi(x)=x^{1/3}}.

On a : {\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;(x+y)^{1/3}=x^{1/3}\star y^{1/3}} c’est-à-dire {\varphi(x+y)=\varphi(x)\star\varphi(y)}.

La bijection {\varphi} est donc un isomorphisme de {(\mathbb{R},+)} sur {(\mathbb{R},\star)}.

Aini {(\mathbb{R},\star)} est muni d’une structure de groupe commutatif.

Plus précisément le neutre de {(\mathbb{R},\star)} est {0}.

De même, le symétrique de {x} pour la loi {\star} est {-x}.

Exercice 2.
Montrer qu’un groupe fini d’ordre premier est cyclique.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Soit {a\in G}, distinct du neutre {e} (possible car {\text{Card}(G)\ge2}).

L’ensemble {(a)=\{a^n,n\in\mathbb{Z}\}} est un sous-groupe de {G}.

On sait que l’ordre (le cardinal) d’un sous-groupe d’un groupe fini divise l’ordre de ce groupe.

Soit m l’ordre de {(a)}, au moins égal à {2} car \{e,a\}\subset (a).

Ainsi mdivise l’ordre {p} (premier) de {G}, donc m=p, donc {(a)=G}.

Ainsi {G} est cyclique (et engendré par chacun de ses éléments différent du neutre).

Exercice 3.
Soit {G} un groupe dans lequel on a toujours {(xy)^2=x^2y^2}.
Montrer que G est commutatif.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Soient {x,y} deux éléments de {G}.

On a {(xy)^2=x^2y^2} donc {xyxy=xxyy}.

On simplifie par {x} à gauche et on obtient : {yxy=xyy}.

On simplifie par {y} à droite et on obtient : {yx=xy}.

Ainsi {G} est un groupe commutatif.

Exercice 4.
Montrer qu’un groupe {G} où tout {x} vérifie {x^2=e} est abélien.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Soient {x,y} deux éléments de {G}.

On a {e=(xy)^2=xyxy}.

On multiplie à gauche par {x} puis à droite par {y}.

Ainsi {x=x^2yxy=yxy}, puis {xy=yxy^2=yx}.

En conclusion : le groupe {G} est commutatif (abélien).

Exercice 5.
Soit {G} un groupe fini dans lequel tout élément vérifie {x^2=e}.

  1. Montrer que le groupe {G} est abélien.
  2. On fixe un élément {a} de {G}, distinct du neutre {e}.
    Pour tout {x\in G}, on note {\overline{x}=\{x,ax\}}.
    On définit une relation {\mathcal{R}} sur {G} par : {x\mathcal{R} y\Leftrightarrow y\in\overline{x}}.

    Montrer que {\mathcal{R}} est une relation d’équivalence.

  3. Soit {H} l’ensemble des différentes classes d’équivalences{\overline x}, quand {x} parcourt {G}.
    Quel est le cardinal de {H}?
  4. Montrer que {H} muni de {\overline{x}\star\overline{y}=\overline{xy}} est un groupe.
    Vérifier que {H} satisfait à la même hypothèse que {G}.
  5. Montrer que le cardinal de {G} est une puissance de {2}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé

  1. Cette question a déjà été traitée dans l’exercice précédent.
  2. Tout {x\in G} est dans {\overline{x}}, donc {\mathcal{R}} est réflexive.

    Soient {x,y} dans {G} tel que {y\mathcal{R} x} (donc {y=x} ou {y=ax}).

    Si {y=ax} alors {ay=a^2x=x}.

    Dans tous les cas, on a donc {x=y} ou {x=ay}.

    Ainsi {y\mathcal{R} x\Leftrightarrow x\mathcal{R} y}, donc {\mathcal{R}} est symétrique.

    Soient {x,y,z} dans {G} tels que {x\mathcal{R} y} et {y\mathcal{R} z}.

    On a donc {\begin{cases}x=y\text{\ ou\ }x=ay\\ y=z\text{\ ou\ }y=az\end{cases}}

    Dans tous les cas (sachant {a^2=e}), on a {x=z} ou {x=az}.

    Ainsi {x\mathcal{R} z} donc {\mathcal{R}} est transitive.

    En conclusion : {\mathcal{R}} est une relation d’équivalence.

  3. On sait que les classes d’équivalence {\overline{x}} forment une partition de {G}.

    Or chacune est de cardinal {2} : en effet {a\ne e\Rightarrow x\ne ax}.

    Ainsi {\text{Card}(G)} est pair et que {\text{Card}(H)=\dfrac12\text{Card}(G)}.

  4. Soient {\alpha} et {\beta} deux éléments de {H}.

    Ainsi {\exists(x,y)\in G^2,\;\begin{cases}\alpha=\overline{x}=\overline{x'}\\\beta=\overline{y}=\overline{y'}\end{cases}} (où {x'=ax} et {y'=ay}).

    On constate que les éléments {xy}, {x'y}, {xy'} et {x'y'} sont en relation par {\mathcal{R}}.

    En effet chacun d’eux vaut {xy} ou {axy} (conséquence de la commutativité et de {a^2=e}).

    La définition {\alpha\star\beta=\overline{xy}} ne dépend donc pas du choix de {x} dans {\alpha} et {y} dans {\beta}.

    L’application {\varphi:x\mapsto\overline{x}} est une surjection de {G} sur {H}.

    De plus elle vérifie : {\forall\, (x,y)\in G^2,\varphi(xy)=\varphi(x)\star\varphi(y)}.

    Ainsi {\varphi} est un morphisme surjectif de {(G,\cdot)} sur {(H,\star)}.

    Il en découle que {(H,\star)} est un groupe commutatif (classique).

    Plus précisément, le neutre est {\overline{e}=\{e,a\}} et le symétrique de {\overline{x}} est {\overline{x^{-1}}}.

    Enfin on contaste que : {\forall\, x\in G,\overline{x}\star\overline{x}=\overline{x^2}=\overline{e}} (le neutre de {H}).

    Le groupe {H} satisfait donc aux mêmes hypothèses que {G}.

  5. Si {G=\{e\}}, alors son cardinal est {1=2^0}.

    Sinon, avec les notations précédentes, {\text{Card}(G)=2\text{Card}(H)}.

    Si {H} se réduit à son neutre, alors {\text{Card}(G)=2}.

    Sinon on construit un groupe {K} à partir de {H} (comme {H} à partir de {G}).

    Ce procédé peut continuer tant que le groupe obtenu est de cardinal {\ge2}.

    Puisque les cardinaux diminuent de moitié à chaque étape, le procédé est fini.

    On forme donc une suite finie de groupes {G_0=G}, {G_1}, {G_2}, {\ldots}, {G_{n-1}}, {G_n} avec à chaque étape {\text{Card}(G_k)=2\text{Card}(G_{k+1})} et finalement {\text{Card}(G_n)=1}.

    Il en découle {\text{Card}(G_n)=2^n}.

    Le cardinal de {G} est donc bien une puissance de {2}.