Groupes et sous-groupes (2/5)

Exercice 1.
Soit {G} un groupe. Pour tout {a} de {G} on pose {\varphi_a(x)=axa^{-1}}.
Montrer que {\varphi_{a}} est un automorphisme du groupe {G}.
Montrer que {a\mapsto\varphi_a} est un morphisme de {G} dans le groupe des automorphismes de {G}. Quel est le noyau de ce morphisme?
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  • Soit {a} dans {G}. Pour tous, {x,y} de {G}, on a : {y=\varphi_a(x)=axa^{-1}\Leftrightarrow x=a^{-1}ya=\varphi_{a^{-1}}(y)}Ainsi {\varphi_a} est une bijection de {G} et {(\varphi_a)^{-1}=\varphi_{a^{-1}}}.
  • Soit {a} dans {G}. Pour tous {x,y} de {G} :
    {\varphi_a(xy)=a(xy)a^{-1}=(axa^{-1})(aya^{-1})=\varphi_a(x)\varphi_b(x)}Ainsi {\varphi_a} est un automorphisme du groupe {G}.
  • Soient {a,b} deux éléments de {G}. Pour tout {x} de {G} : {\begin{array}{rl}(\varphi_{b}\circ\varphi_{a})(x)&=\varphi_b(axa^{-1})=b(axa^{-1})b^{-1}\\\\&=(ba)x(ba)^{-1}=\varphi_{ba}(x)\end{array}}Autrement dit, on a l’égalité {\varphi_{b}\circ\varphi_{a}=\varphi_{ba}}.

    Ainsi {\varphi:a\,\mapsto\,\varphi_a} est un morphisme de {G} dans le groupe des automorphismes de {G}.

  • Le noyau de {\varphi} est formé des {a\in G} tels que {\varphi_a=\text{Id}_G}.

    Or {\varphi_a=\text{Id}_G\Leftrightarrow\forall\, x\in G, x=axa^{-1}\Leftrightarrow\forall\, x\in G, xa=ax}.

    Le noyau de {\varphi} est donc l’ensemble des éléments de {G} qui commutent avec tous les éléments de {G} (on parle du centre de {G}).

    Remarque : les automorphismes {\varphi_a} sont appelés automorphismes intérieurs de {G}.

Exercice 2.
Soit {G} un groupe fini d’ordre {n}. Soit {k} un entier premier avec {n}.
Montrer que {x\rightarrow x^k} est une bijection de {G} sur lui-même.
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Rappelons que dans un groupe d’ordre {n}, on a {x^n=e} pour tout {x\in G}.

Par hypothèse, il existe {(u,v)\in\mathbb{Z}^2} tels que {un+vk=1}.

Pour tout {y} de {G}, on a donc : {y=y^{un+vk}=(y^n)^u(y^v)^k=(y^v)^k=x^k\text{\ avec\ }x=y^v}Ainsi l’application {x\rightarrow x^k} est surjective de {G} dans lui-même.

Comme {G} est un ensemble fini, c’est une permutation de {G}.

Exercice 3.
Montrer que tout groupe d’ordre {4} est commutatif.
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Soit {G=\{e,a,b,c\}} un groupe d’ordre {4}, de neutre {e}.

Si on montre par exemple {ab=ba}, on aura prouvé que {G} est commutatif.

L’égalité {ab=b} est impossible car elle donnerait {a=e} par simplification.

Il en est de même de l’égalité {ab=a}.

On a donc {ab\in\{e,c\}}, et de même {ba\in\{e,c\}}.

  • Si {ab=e} ou si {ba=e}, alors {b} est l’inverse de {a}.

    Il en découle {ba=ab=e}.

  • Le seul cas restant est donc {ab=ba=c}.

Conclusion : {G} est un groupe abélien.

Remarque : à un isomorphisme près, il n’y a que {\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}} et {(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\times(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})}.

Exercice 4.
La table suivante définit-elle un groupe ?
{\begin{array}{c|ccccc}\star& e & x & y & z & t\\ -&-&-&-&-&-\\e & e & x & y & z & t\\x & x & e & t & y & z\\y & y & z & e & t & x\\z & z & t & x & e & y\\t & t & y & z & x & e\end{array}}
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La réponse est négative car la loi {\star} n’est pas associative.

En effet : {x\star(y\star z)=x\star t=z} et {(x\star y)\star z=t\star z=x}.

On voit cependant que {e} est neutre, et que tout élément est inversible (égal à son inverse).

Exercice 5.
Soient {a,b} dans un groupe {G} vérifiant : {a^5=e} et {ab=ba^3}.
Montrer que {a^2b=ba} et que {ab^3=b^3a^2}.
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On a : {a^2b=a(ab)=a(ba^3)=(ab)a^3=(ba^3)a^3=b(a^5)a=ba}.

De même, on a les égalités : {\begin{array}{rl}ab^3&=(ab)b^2=(ba^3)b^2=ba(a^2b)b=ba(ba)b\\\\&=b(ab)ab=b(ba^3)ab=b^2a^2(a^2b)\\\\&=b^2a^2(ba)=b^2(a^2b)a\\\\&=b^2(ba)a=b^3a^2\end{array}}