Groupes et sous-groupes (1/5)

Exercice 1.
Soient {x,y} deux éléments d’un groupe {G} tels que : {\begin{cases}(xy)^{-1}=x^{-1}y\\(yx)^{-1}=y^{-1}x\end{cases}}
Montrer que {(x^2)^{-1}=y^2} et {x^4=y^4=e}.
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  1. L’hypothèse {(yx)^{-1}=y^{-1}x} s’écrit {x^{-1}y^{-1}=y^{-1}x}.

    On obtient {yx^{-1}=xy} en multipliant par {y} à droite et à gauche.

    On en déduit : {\begin{array}{rl}x^2y^2&=x(xy)y=x(yx^{-1})y\\\\&=(xy)(x^{-1}y)=(xy)(xy)^{-1}=e\end{array}}Mais {x^2y^2=e} signifie que {(x^2)^{-1}=y^2}, ce qu’il fallait prouver.

  2. On trouve successivement : {\begin{array}{rl}x^4&=x^2x^2=(y^2)^{-1}x^2=y^{-1}(y^{-1}x)x\\\\&=y^{-1}(x^{-1}y^{-1})x=(y^{-1}x^{-1})(y^{-1}x)\\\\&=(xy)^{-1}(y^{-1}x)=(x^{-1}y)(y^{-1}x)=e\end{array}}On a donc obtenu {x^4=e}.

    Il en découle : {y^4=(y^2)^2=(x^2)^{-2}=(x^4)^{-1}=e}.

Exercice 2.
Soit {G} un groupe. On note \varphi l’application {x\mapsto x^{-1}}.
Montrer que \varphi est un morphisme si et seulement si {G} est abélien.
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Dire que \varphi est un morphisme, c’est dire que : {\forall\, (x,y)\in G^2,x^{-1}y^{-1}=(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}}Mais pour tout {a\in G}, l’application {a\mapsto a^{-1}} est une permutation de {G}.

Ainsi \varphi est un morphisme si et seulement si : {\forall\, (x,y)\in G^2,xy=yx}

Exercice 3.
Soit {(G,\star)} un groupe abélien (on note {e} le neutre et {a'} le symétrique de {a}).
Soit {\alpha} un élément de {G}, différent de {e}.
On définit une loi {{\textrm T}} en posant : {\forall\, a,b\in G}, {a\,\mathcal{T}\, b=a\star b\star\alpha}.
Montrer que {(G,\mathcal{T})} est un groupe abélien.
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  • Puisque {\star} est commutative, il en est de même de la loi {\mathcal{T}}.

    En effet : {\forall(a,b)\in G^2,\;a\mathcal{T} b=a\star b\star \alpha=b\star a\star\alpha=b\mathcal{T} a}.

  • Pour tous {a,b,c} de {E}, on a : {a\mathcal{T}(b\mathcal{T} c)=a\mathcal{T}(b\star c\star\alpha)=a\star b\star c\star \alpha\star\alpha}De même, on trouve : {\begin{array}{rl}(a\mathcal{T} b)\mathcal{T} c&=(a\star b\star\alpha)\mathcal{T} c=a\star b\star\alpha\star c\star\alpha\\\\&=a\star b\star c\star \alpha\star\alpha\end{array}}La loi {\mathcal{T}} est donc associative.
  • On constate que {\alpha'} est neutre pour la loi {\mathcal{T}}.

    En effet : {\forall a\in E,\;a\mathcal{T}\alpha'=a\star\alpha\star\alpha'=a\star e=a}.

  • Soit {a} un élément quelconque de {G}.

    On constate que {b=a'\star\alpha'\star\alpha'} est inverse de {a} pour {\mathcal{T}}.

    En effet : {a\mathcal{T} b=a\star a'\star\alpha'\star\alpha'\star\alpha=e\star\alpha'\star e=\alpha'}.

  • Conclusion : muni de la loi {\mathcal{T}}, l’ensemble {G} est un groupe abélien.

Exercice 4.
Soit {G} un ensemble non vide muni d’une loi associative telle que : {\forall\, (a,b)\in G^{\,2},\;\exists\,(x,y)\in G^{\,2},\;b=ax=ya}Montrer que {G} est un groupe.
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  • Soit {a} fixé dans {G}. Alors {\exists(\alpha,\beta)\in G^2,\;a=a\alpha=\beta a}.

    Soit {b} quelconque dans {G}. Alors {\exists(x,y)\in G^2,\;b=ax=ya}.

    On en déduit : {\begin{cases}b\alpha=(ya)\alpha=y(a\alpha)=ya=b\\\beta b=\beta(ax)=(\beta a)x=ax=b\end{cases}}
    En particulier, en choisissant {b=\beta} puis {b=\alpha} : {\beta\alpha=\beta=\alpha}.

    Ainsi l’élément {e=\alpha=\beta} vérifie : {\forall\, b\in G,eb=be=b,\text{\ donc\ }e\text{\ est élément neutre}}

  • Soit {a} un élément de {G}.

    On sait qu’il existe {u,v} dans {G} tels que {e=ua=av}.

    On a alors {\begin{cases}u(av)=ue=u\\ u(av)=(ua)v=ev=v\end{cases}}. Ainsi {u=v}.

    L’élément {u=v} vérifie donc {ua=au=e} : {u} est l’inverse de {a}.

  • Conclusion : l’ensemble {G} est donc muni d’une structure de groupe.

Exercice 5.
Soit {G} un ensemble fini non vide muni d’une loi {\star} associative.
On suppose que tout élément de {G} est régulier (simplifiable).
Montrer que {G} est un groupe.
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Par hypothèse, les applications {x\mapsto x\star a} et {x\mapsto a\star x} sont injectives.

Puisque {G} est fini ces applications sont donc bijectives.

On peut alors terminer la démonstration comme dans l’exercice précédent.