Groupes et sous-groupes (1/5)

Exercice 1.
Soient {x,y} deux éléments d’un groupe {G} tels que : {\begin{cases}(xy)^{-1}=x^{-1}y\\(yx)^{-1}=y^{-1}x\end{cases}}
Montrer que {(x^2)^{-1}=y^2} et {x^4=y^4=e}.
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Exercice 2.
Soit {G} un groupe. On note \varphi l’application {x\mapsto x^{-1}}.
Montrer que \varphi est un morphisme si et seulement si {G} est abélien.
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Exercice 3.
Soit {(G,\star)} un groupe abélien (on note {e} le neutre et {a'} le symétrique de {a}).
Soit {\alpha} un élément de {G}, différent de {e}.
On définit une loi {{\textrm T}} en posant : {\forall\, a,b\in G}, {a\,\mathcal{T}\, b=a\star b\star\alpha}.
Montrer que {(G,\mathcal{T})} est un groupe abélien.
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Exercice 4.
Soit {G} un ensemble non vide muni d’une loi associative telle que : {\forall\, (a,b)\in G^{\,2},\;\exists\,(x,y)\in G^{\,2},\;b=ax=ya}Montrer que {G} est un groupe.
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Exercice 5.
Soit {G} un ensemble fini non vide muni d’une loi {\star} associative.
On suppose que tout élément de {G} est régulier (simplifiable).
Montrer que {G} est un groupe.
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