Développements limités (4/4)

Exercice 1.
On pose {f(x)=\sqrt{x(\sin x+\text{sh} x-2x)}} (pour {x\ge0}).
Développement limité de f en {0}, à l’ordre {6}.
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Exercice 2.
Soit {x_{n}} la solution de {\tan x=x} dans {I_n=\Bigl]n\pi-\dfrac\pi2,n\pi+\dfrac\pi2\Bigr[}.
Montrer que {x_n=an+b+\dfrac cn+\dfrac d{n^2}+\text{o}\Big(\dfrac 1{n^2}\Big)}.
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Exercice 3.
On pose {f_0(x)=1-x}, et {f_{n+1}(x)=\dfrac1{2-f_n(x)}}.
Développement limité de f_n en {0}, à l’ordre {5}.
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Exercice 4.
On pose {f(x)=\dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt[3]{1-3x}}{\sqrt[3]{1+\frac32x}+\sqrt{4+5x}}}.
Développement limité de f en {0}, à l’ordre {3}.
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Exercice 5.
Montrer que l’équation {\ln x+x=\lambda} a une solution unique {x_\lambda}.
Donner {a,b,c} tels que {x_\lambda=a\lambda+b\ln\lambda+c\dfrac{\ln \lambda}\lambda+\text{o}\Big(\dfrac{\ln \lambda}\lambda\Big)} quand {\lambda\rightarrow+\infty}.
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