Calculs dans ℤ/nℤ

Exercice 1.
Dans {\mathbb{Z}}, on définit la loi {\text{T}} par {x\,\text{T}\, y=\alpha x+\beta y} ({\alpha,\beta\in\mathbb{Z}^*}).

  1. Montrer que {\varphi:(x,y)\rightarrow x\,\text{T}\, y} est un morphisme de {(\mathbb{Z}^2,+)} dans {(\mathbb{Z},+)}.
  2. Quel en est le noyau?
  3. On se donne un entier {n} strictement positif.
    Montrer qu’on définit une loi sur {\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} par : {\overline{x}\star\overline{y}=\overline{x\,\text{T}\, y}}.
  4. À quelle condition la loi \star est-elle associative?.
  5. À quelle condition la loi \star est-elle commutative?
  6. À quelle condition existe-t-il un neutre pour cette loi?.
  7. En déduire à quelle condition {(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\star)} est un groupe commutatif.

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Exercice 2.
Résoudre {(E):\ x^2+2x=3} dans {\mathbb{Z}/97\mathbb{Z}} puis dans {\mathbb{Z}/91\mathbb{Z}}.
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Exercice 3.
Montrer que {\mathbb{K}=(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^2} est un corps quand on le munit des lois : {\begin{cases}(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b')\phantom{\Big(}\cr (a,b)\star(a',b')=(aa'+2bb',ab'+ba')\end{cases}}
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Exercice 4.
On se donne un entier premier {p} strictement supérieur à {2}.

  1. Dans {\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}, quels éléments sont leur propre inverse?
  2. En déduire que {p} divise {(p-1)!+1}.
  3. Établir la réciproque.

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