Arithmétique des polynômes (2/2)

Exercice 1.
Soient {P,Q} deux polynômes de {\mathbb{C}[X]}, premiers entre eux.
On suppose que {P^2+Q^2} admet {a} pour racine double.
Montrer que {a} est racine de {P'^2+Q'^2}.
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Il existe {U,V} dans {\mathbb{C}[X]} tels que {UP+VQ=1}.

Ainsi {A(P+iQ)+B(P-iQ)=1}, où {A=\dfrac12(U-iV)} et {B=\dfrac12(U+iV)}.

Il en découle que {P+iQ} et {P-iQ} sont premiers entre eux.

Or {a} est racine double de {P^2+Q^2=(P+iQ)(P-iQ)}.

Il est donc racine double ou bien de {P+iQ}, ou bien de {P-iQ}.

Ainsi {a} est racine de {P'+iQ'} ou de {P'-iQ'}.

Dans tous les cas, il est racine de {(P'+iQ')(P'-iQ')=P'^2+Q'^2}.

Exercice 2.
Trouver les polynômes {U,V} tels que {(X-1)^3U+(X+1)^2V=1}.
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Il existe de tels polynômes car {(X-1)^3\wedge (X+1)^2=1}.

On trouve un couple (U,V) en appliquant l’algorithme d’Euclide.

On a tout d’abord {(X-1)^3=(X+1)^2(X-5)+12X+4}.

Ensuite {36(X+1)^2=(12X+4)(3X+5)+16}.

En remontant les calculs, on en déduit : {\begin{array}{rl}16&=36(X+1)^2-(12X+4)(3X+5)\\\\&=36(X+1)^2-(3X+5)\bigl((X-1)^3-(X+1)^2(X-5)\bigr)\\\\&=-(3X+5)(X-1)^3+(3X^2-10X+11)(X+1)^2\end{array}}Une solution {(U_0,V_0)} de {(X-1)^3U_0+(X+1)^2V_0=1} est donc : {U_0=\dfrac{-1}{16}(3X+5),\quad V_0=\dfrac{-1}{16}(3X^2-10X+11)}Pour tout couple {(U,V)} on a alors :{\begin{array}{l}(X-1)^3U+(X+1)^2V=1\\\\\quad\Leftrightarrow(X-1)^3U+(X+1)^2V=(X-1)^3U_0+(X+1)^2V_0\\\\\quad\Leftrightarrow(X-1)^3(U-U_0)=(X+1)^2(V_0-V)\end{array}}Cela équivaut (Gauss)
à l’existence de {C\in\mathbb{R}[X]} tel que : {\begin{cases}U=U_0+(X+1)^2C\\ V=V_0-(X-1)^3C\end{cases}}

Remarque: la solution {(U_0,V_0)} obtenue par la méthode précédente est optimale, en ce sens qu’elle minimise les degrés. Pour toute autre solution {(U,V)}, on a {\deg U\ge2} et {\deg V\ge3}.

Exercice 3.
Déterminer {S} et {T} de degré {5} tels que {(1-X)^6S+X^6T=1}.
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Puisque {(1-X)^6\wedge X^6=1}, il existe de tels polynômes {S,T}.

On peut construire {(S,T)} avec {\deg S\le5} et {\deg T\le 5}.

Mais cette méthode conduirait à des calculs un peu trop compliqués.

Remarquons que {(1-X)^6S+X^6T=1} équivaut à : {\forall\, x\in]-1,1[,\;(1-x)^6S(x)+x^6T(x)=1}Sous cette forme le problème devient : {\dfrac{1}{(1-x)^6}=S(x)+x^6\dfrac{T(x)}{(1-x)^6}=S(x)+o(x^5)}Ainsi (puisque {\deg S\le5}), {S(x)} est le DL de {\dfrac{1}{(1-x)^6}} en {0} à l’ordre {5}.

Or on connaît le développement limité usuel : {\begin{array}{rl}\dfrac{1}{(1-x)^6}&=(1-x)^{-6}\\\\&=1+6x+21x^2+56x^3+126x^4+252x^5+o(x^5)\end{array}}On en déduit donc {S=1+6X+21X^2+56X^3+126X^4+252X^5}.

On remarque enfin l’équivalence : {\begin{array}{l}(1-X)^6S(X)+X^6T(X)=1\\\\\quad\Leftrightarrow (1-X)^6T(1-X)+X^6S(1-X)=1\end{array}}Cela signifie que {T(X)=S(1-X)}. On trouve alors : {\begin{array}{rl}T(X)&=1+6(1-X)+21(1-X)^2+56(1-X)^3\\\\&\quad+126(1-X)^4+252(1-X)^5\\\\&=-252X^5+1386X^4-3080X^3+3465X^2-1980X+462\end{array}}