Arithmétique des polynômes (1/2)

Exercice 1.
Soient {A} et {B} deux polynômes à coefficients entiers, tels que les coefficients de {A} sont premiers entre eux dans leur ensemble (idem pour {B}).
Montrer qu’il en est de même pour {AB}.
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Posons {A=\displaystyle\sum_{j=0}^ma_jX^j} et {B=\displaystyle\sum_{k=0}^nb_kX^k}.

Ainsi {AB=\displaystyle\sum_{r=0}^{m+n}c_rX^r} avec {c_r=\displaystyle\sum_{j+k=r}a_jb_k}.

Supposons par l’absurde que les {c_r} ne soient pas premiers entre eux dans leur ensemble.

Soit {d\gt 1} un diviseur premier commun de tous les {c_r}.

Par hypothèse les {a_j} sont premiers entre eux dans leur ensemble, de même que les {b_k}.

Il existe donc un plus petit entier {j_0} dans {\{0,\ldots,m\}} tel que {d} ne divise pas {a_{j_0}}.

De même, il existe un plus petit entier {k_0} dans {\{0,\ldots,n\}} tel que {d} ne divise pas {b_{k_0}}.

Dans ces conditions {c_{j_0+k_0}=a_{j_0}b_{k_0}+S} avec {S=\displaystyle\sum_{j+k=j_0+k_0}^{(j,k)\ne(j_0,k_0)}a_jb_k}.

Tous les {a_jb_k} de {S} sont divisibles par {d} (car {j\lt j_0} ou {k\lt k_0}).

Or {c_{j_0+k_0}} est divisible lui aussi par {d} (comme tous les {d_r}).

On en déduit que {d} divise {S-c_{j_0+k_0}=a_{j_0}b_{k_0}}.

Le théorème de Gauss donne alors {d\mid a_{j_0}} ou {d\mid b_{k_0}} ce qui est absurde.

Conclusion : les coefficients de {C=AB} sont premiers entre eux dans leur ensemble.

Exercice 2.
Soient A et B dans \mathbb{K}[X].
Montrer que {A\wedge B=1\Leftrightarrow AB\wedge(A+B)=1}.
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  • On suppose que {(AB)\wedge(A+B)=1}.

    Il existe donc {U,V} dans {\mathbb{K}[X]} tels que {(AB)U+(A+B)V=1}.

    Cette égalité s’écrit aussi {A(BU+V)+BV=1}.

    Sous cette forme c’est une égalité de Bezout pour {A} et {B}.

    On en déduit que {A} et {B} sont premiers entre eux.

  • Inversement, on suppose que {A\wedge B=1}.

    Il existe {U,V} dans {\mathbb{K}[X]} tels que {AU+BV=1}.

    On a alors les égalités de Bezout {\begin{cases}(A+B)U+B(V-U)=1\\ A(U-V)+(A+B)V=1\end{cases}}.

    Il en résulte que {\begin{cases}(A+B)\wedge B=1\\ A\wedge(A+B)=1\end{cases}}

    Ainsi {A+B} est premier avec {A} et {B}.

    Il est donc premier avec leur produit.

Conclusion : on a l’équivalence {A\wedge B=1\Leftrightarrow (A+B)\wedge(AB)=1}.

Exercice 3.
Montrer que le Pgcd de {X^n-1} et de {X^p-1} est {X^{\text{pgcd}(n,p)}-1}.
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Soit {n=pq+r} la division euclidienne de {n} par {p}. On a : {\begin{array}{rl}X^n-1&=X^{pq+r}-1=X^{r}(X^{pq}-1)+X^r-1\\\\&=X^r(X^p-1)\displaystyle\sum_{k=0}^{q-1}X^{kp}+X^r-1\end{array}}Or {0\le r\lt p}, donc {X^r-1} est le reste dans la division de {X^n-1} par {X^p-1}.

On forme l’algorithme d’Euclide appliqué au couple {(n,p)} : {n=pq_1+r_1,\ p=r_1q_2+r_2,\ r_1=r_2q_3+r_3,\ldots,\ r_{n-1}=r_{n}q_{n+2}}L’entier {r_n}, dernier reste non nul, est le pgcd de {n} et de {p}.

Ce qui précède montre que l’algorithme d’Euclide appliqué aux polynômes {X^n-1} et {X^p-1} conduit aux restes successifs {R_1=X^{r_1}-1,R_2=X^{r_2}-1,\ldots,R_n=X^{r_n}-1}.

Ici {R_n} est le dernier reste non nul (car {r_{n}\mid r_{n-1}\Rightarrow R_{n}\mid R_{n-1}}).

Il en découle : {\text{pgcd}(X^n-1,X^p-1)=R_n=X^{r_n}-1=X^{\text{pgcd}(n,p)}-1}.

Exercice 4.
Soient {A,B} dans {\mathbb{K}[X]} (non tous deux nuls).
Soient {U,V} dans {\mathbb{K}[X]} tels que {AU+BV={\text{pgcd}}(A,B)}.
Montrer que {U} et {V} sont premiers entre eux.
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Puisque {A,B} ne sont pas tous deux nuls, on a {D=\text{pgcd}(A,B)\ne0}.

Il existe {\widehat A} et {\widehat B} tels que {\begin{cases}A=D\widehat A\\ B=D\widehat B\end{cases}}

Ainsi : {AU+BV=D\Rightarrow D(\widehat AU+\widehat BV)=D\Rightarrow\widehat AU+\widehat BV=1}.

Cette égalité de Bezout prouve que {U\wedge V=1}.