Suites définies par récurrence (2/3)

Exercice 1.
On se donne {u_0>0} et {a>0}.
Étudier la suite {(u_n)} définie par {\forall n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\dfrac12\Big(u_n+\dfrac a{u_n}\Big)}.
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La suite {u} est définie par {u_{n+1}=f(u_n)}, où {f(x)=\dfrac12(x+\dfrac a{x})}.

Par récurrence évidente, on voit que les {u_n} sont bien définis et strictement positifs.

On a {f(x)-x=\dfrac{a-x^2}{2x}}. En particulier {f(x)=x\Leftrightarrow x=\sqrt{a}}.

La seule limite finie possible de la suite {u} est donc {\ell=\sqrt{a}}.

Pour tout {x>0}, on a : {f'(x)=\dfrac{x^2-a}{2x^2}}.

On en déduit le tableau de variations de {f} (avec le signe de {f(x)-x}).

Voici la courbe de {f} (avec {a=1}, l’asymptote {y=\dfrac{x}2} et la bissectrice {y=x}) :

On peut maintenant étudier la suite {u}, suivant les valeurs de {u_0}.

  • Si {\sqrt{a}\lt u_0}. Pour tout {x>\sqrt{a}}, on a {\sqrt{a}\lt f(x)\lt x}.

    En particulier {\sqrt{a}\lt u_1\lt u_0} et {\sqrt{a}\lt u_2\lt u_1}.

    Par récurrence évidente : {\forall n\ge0, \sqrt{a}\lt u_{n+1}\lt u_n}.

    La suite {u}, décroissante minorée, converge {\ell=\sqrt a} (seule possibilité).

  • Si {u_0=\sqrt{a}}. Alors : {\forall n\ge 0, u_n=\sqrt{a}}.
  • Si {0\lt u_0\lt \sqrt{a}}. On {u_1=f(u_0)>\sqrt{a}}, ce qui ramène au premier cas.

Conclusion : Dans tous les cas, {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=\sqrt{a}}.

Remarque : puisque {f'(\sqrt a)=0}, la convergence vers {\ell=\sqrt a} est très rapide.

On peut en effet écrire : {\begin{array}{rl}u_{n+1}-\ell&=f(u_n)-f(\ell)\\\\&=(u_n-\ell)f'(\ell)+\dfrac12(u_n-\ell)^2f''(\ell)+\text{o}((u_n-\ell)^2)\\\\&\sim\dfrac1{2\ell}(u_n-\ell)^2\end{array}}On dit que la convergence est de type quadratique. Dans la pratique, cela signifie que le nombre de décimales exactes, dans l’approximation {u_n\approx\sqrt{a}}, double à peu près à chaque itération.

Exercice 2.
Étudier la suite {(u_n)} définie par {u_0\ne1} et : {\forall n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\dfrac{1+u_n^2}{-1+u_n}}.
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La suite {u} est définie par {u_{n+1}=f(u_n)}, où {f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}}.

On commence par étudier la fonction {f}, définie pour {x\ne 1}.

Pour tout {x\ne1}, {f(x)-1=\dfrac{x^2-x+2}{x-1}} est non nul.

Puisque {u_0\ne1}, la suite {u} est bien définie.

On a {f(x)-x=\dfrac{x+1}{x-1}} et {f(x)=x\Leftrightarrow x=-1}.

La seule limite finie possible de la suite {u} est donc {\ell=-1}.

Pour tout {x\ne1}, on a : {f'(x)=\dfrac{2x(x-1)-(x^2+1)}{(x-1)^2}=\dfrac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}\cdot}Dans la suite, on note {\alpha=1-\sqrt2} et {\beta=1+\sqrt2}.

Avec ces notations : {\forall x\ne1, f'(x)=\dfrac{(x-\alpha)(x-\beta)}{(x-1)^2}}.

Voici le tableau de variations de {f}, avec le signe de {f(x)-x=\dfrac{x+1}{x-1}} :

Voici la courbe de {f}, avec l’asymptote {y=x+1} et la bissectrice {y=x} :

On peut maintenant étudier la suite {u}, suivant les valeurs de {u_0}.

  • Si {u_0\lt -1}. Pour tout {x\lt -1}, on a : {x\lt f(x)\lt -1}.

    En particulier {u_0\lt u_1\lt -1} et {u_1\lt u_2\lt -1}.

    Par récurrence évidente, on en déduit : {\forall n\ge 0, u_n\lt u_{n+1}\lt -1}.

    La suite {u}, croissante majorée, converge vers {\ell=-1} (seule possibilité).

  • Si {u_0=-1}. Alors : {\forall n\ge0, u_n=-1}.
  • Si {-1\lt u_0\lt 0}. Pour {-1\le x\le 0}, on a : {-1\lt f(x)\lt x\lt 0}.

    En particulier {-1\lt u_1\lt u_0\lt 0} et {-1\lt u_2\lt u_1\lt 0}.

    Par récurrence évidente : {\forall n\ge 0, -1\lt u_{n+1}\lt u_{n}\lt 0}.

    La suite {u}, décroissante et minorée, converge {\ell=-1} (seule possibilité).

  • Si {u_0=0}. On a {u_1=f(0)=-1} donc : {\forall n\ge 1, u_n=-1}.
  • Si {0\lt u_0\lt 1}. On a {u_1=f(u_0)\lt -1}.

    On est ainsi ramené au premier cas : {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=-1}.

  • Si {u_0>1}. Pour {x>1} on a : {1\lt x\lt f(x)}.

    En particulier {1\lt u_0\lt u_1} et {1\lt u_1\lt u_2}.

    Par récurrence évidente, on en déduit : {\forall n\ge 0, 1\lt u_n\lt u_{n+1}}.

    La suite croissante {u} ne peut alors pas converger vers {-1}.

    On en déduit {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty}.

En conclusion :

  • Si {u_0\lt 1}, {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=-1}.
  • Si {u_0>1}, {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty}.

Exercice 3.
Étudier {(u_n)} définie par {u_0>0} et {\forall n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=2+\ln u_n}.
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La suite {u} est définie par {u_{n+1}=f(u_n)}, où {f(x)=2+\ln x}.

La fonction {f} est bijective strictement croissante de {\mathbb{R}^{+*}} sur {\mathbb{R}}.

Sur {\mathbb{R}^{+*}}, on pose {g(x)=f(x)-x=2+\ln x-x}. On a {g'(x)=\dfrac1x-1}.

Voici les variations de {g}.

L’équation {f(x)=x} a donc deux solutions distinctes {\alpha,\beta}.

On trouve {\alpha\approx0.1585943396} et {\beta\approx3.146193221}.

Ainsi {\alpha,\beta} sont les deux seules limites finies possibles de la suite {u}.

Voici maintenant la courbe représentative de {f}, avec la première bissectrice :

On peut maintenant étudier la suite {u}, suivant les valeurs de {u_0}.

  • Si {u_0=\alpha} ou {u_0=\beta}.

    Dans ce cas la suite {u} est constante : {\forall n\ge 0, u_n=u_0}.

  • Si {\alpha\lt u_0\lt \beta} : pour {\alpha\lt x\le \beta}, on a : {\alpha\lt x\lt f(x)\lt \beta}.

    En particulier {\alpha\lt u_0\lt u_1\lt \beta} et {\alpha\lt u_1\lt u_2\lt \beta}.

    Par récurrence évidente : {\forall n\ge0,\;\alpha\lt u_n\lt u_{n+1}\lt \beta}.

    La suite {u}, majorée et croissante, est donc convergente.

    Ici {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=\beta} (l’autre limite {\alpha} est ici exclue).

  • Si {\beta\lt u_0} : pour tout {\beta\le x}, on a : {\beta\lt f(x)\lt x}.

    En particulier {\beta\lt u_1\lt u_0} et {\beta\lt u_2\lt u_1}.

    Par récurrence évidente : {\forall n\ge0,\;\alpha\lt \beta\lt u_{n+1}\lt u_{n}}.

    La suite {u}, minorée et décroissante, est donc convergente.

    Ici encore {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=\beta} (car {\alpha} est exclu).

  • Si {0\lt u_0\lt \alpha}.

    Montrons que la suite {u} n’est pas définie à partir d’un certain rang. Par l’absurde, on suppose que tout {u_n} existe (et est donc strictement positif pour permettre le calcul de {u_{n+1}}).

    Pour tout {x} de {]0,\alpha[}, on a {f(x)\lt x\lt \alpha}.

    En particulier {0\lt u_1\lt u_0\lt \alpha} et {0\lt u_2\lt u_1\lt \alpha}.

    Par récurrence évidente : {\forall n\ge0,\;0\lt u_{n+1}\lt u_{n}\lt \alpha\lt \beta}.

    La suite {u}, minorée et décroissante, est donc convergente. On aboutit à une contradiction car les deux seules limites possibles {\alpha} et {\beta} sont ici exclues.

    Si {0\lt u_0\lt \alpha}, la suite {u} n’est donc pas définie à partir d’un certain rang.

Exercice 4.
Étudier la suite {(u_n)} définie par : {\forall n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\sqrt{8+\dfrac{u_n^2}2}}.
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Il est clair que les {u_n} sont définis et positifs.

La suite {u} est définie par {u_{n+1}=f(u_n)}, où {f(x)=\sqrt{8+\dfrac{x^2}2}}.

La fonction {f} étant paire, on se contente d’étudier le cas {u_0\ge0}.

La fonction {f} est strictement croissante sur {\mathbb{R}^+}.

Pour tout {x\ge0}, on a : {\begin{array}{rl}f(x)-x&=\sqrt{8+\dfrac{x^2}2}-x=\dfrac12\dfrac{16-x^2}{\sqrt{8+\dfrac{x^2}2}+x}\\\\&=\dfrac12\dfrac{(4-x)(4+x)}{\sqrt{8+\dfrac{x^2}2}+x}\end{array}}On en déduit le signe de {f(x)-x}, et l’équivalence {f(x)=x\Leftrightarrow x=4}.

La seule limite finie possible de la suite {u} est donc {\ell=4}.

Voici la courbe {y=f(x)}, avec la bissectrice {y=x} :

On peut alors conclure suivant la valeur de {u_0} :

  • Si {0\le u_0\lt 4}. Pour tout {0\le x\lt 4}, on a {0\le x\lt f(x)\lt 4}.

    En particulier {0\le u_0\lt u_1\lt 4} et {0\le u_1\lt u_2\lt 4}.

    Par récurrence évidente : {\forall n\ge0, 0\le u_n\lt u_{n+1}\lt 4}.

    La suite {u}, croissante majorée, converge vers {4} (seule limite possible).

  • Si {u_0=4}. Dans ce cas {\forall n\ge 0, u_n=4}.
  • Si {4\lt u_0}. Pour {4\lt x} , on a {4\lt f(x)\lt x}.

    En particulier {4\lt u_1\lt u_0} et {4\lt u_2\lt u_1}.

    Par récurrence évidente : {\forall n\ge0, 4\lt u_{n+1}\lt u_{n}}.

    La suite {u}, décroissante minorée, converge vers {4} (seule limite possible).

  • Si {u_0\le0}. Alors {u_1\ge0} ce qui ramène aux cas précédents.

Conclusion : Dans tous les cas, {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=4}.

Exercice 5.
Étudier la suite {(u_n)} définie par par {u_0>0} et {\forall n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\dfrac{u_n+3}{2u_n}}.
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Il est clair que {u_n} est défini et positif pour tout {n}.

Posons {f(x)=\dfrac{x+3}{2x}}.

On a {f(x)-x=\dfrac{2x^2-x-3}{2x}=\dfrac{(2x-3)(x+1)}{2x}}.

Ainsi, dans {\mathbb{R}^{+*}}, {f(x)=x\Leftrightarrow x=\dfrac32}.

La seule limite finie possible est donc {\ell=\dfrac32}.

On a {f'(x)=-\dfrac3{2x^2}}. Ainsi {f} est décroissante sur {\mathbb{R}^{+*}}.

Voici le tableau des variations de {f}, avec le signe de {f(x)-x} :

Voici la courbe {y=f(x)}, avec la bissectrice {y=x} et l’asymptote {x=\dfrac12} :

Il est clair que, sauf dans le cas évident où {u_0=\dfrac32}, la suite {u} n’est pas monotone, car les termes d’indice pair sont d’un coté de {\dfrac32} et les termes d’indice impair sont de l’autre coté.

Posons {a_n=u_{2n}}, {b_n=u_{2n+1}}, et {g=f\circ f}.

On vérifie que {g(x)=\dfrac{7x+3}{2(x+3)}}.

Pour tout {n}, on a : {a_{n+1}=g(a_n)} et {b_{n+1}=g(b_n)}.

Or {\forall x>0, g'(x)=\dfrac9{(x+3)^2}} : {g} est strictement croissante.

De plus : {\forall x>0, g(x)-x=\dfrac{(x+1)(3-2x)}{2(x+3)}}.

Voici le tableau des variations de {g}, avec le signe de {g(x)-x}.

Voici la courbe {y=g(x)}, avec la bissectrice {y=x} et l’asymptote {x=\dfrac72}.

On peut maintenant étudier la suite {u} suivant les valeurs de {u_0} :

  • Si {0\lt u_0\lt \dfrac32}. Alors {0\lt a_0=u_0\lt \dfrac32} et {\dfrac32\lt b_0=u_1}.

    Pour tout {x\in \Big]0,\dfrac32\Big[}, on a {0\lt x\lt g(x)\lt \dfrac32}.

    En particulier, {0\lt a_0\lt a_1\lt \dfrac32} et {0\lt a_1\lt a_2\lt \dfrac32}.

    De même : {\forall x\in \Big]\dfrac32,+\infty\Big[,\;\dfrac32\lt g(x)\lt x}.

    En particulier {\dfrac32\lt b_1\lt b_0} et {\dfrac32\lt b_2\lt b_1}.

    Par récurrence évidente : {\forall n\ge0, 0\lt a_n\lt a_{n+1}\lt \dfrac32\lt b_{n+1}\lt b_n}.

    Ainsi la suite {(a_n)}, qui est croissante majorée, et la suite {(b_n)}, qui est décroissante minorée, sont convergentes, et vers {\dfrac32} (seule solution positive de {g(x)=x}).

    Autrement dit, les suites {a_n=u_{2n}} et {b_n=u_{2n+1}} sont adjacentes.

    Conclusion : la suite {u} converge vers {\dfrac32}.

  • Si {u_0=\dfrac32}, alors : {\forall n\ge0, u_n=\dfrac32}.
  • Si {u_0>\dfrac32}, alors {0\lt u_1\lt \dfrac32} ce qui ramène au premier cas : {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=\dfrac32}.

Voici une illustration du comportement de la suite {u}, quand {u_0=\dfrac1{3}}.