Suites définies par récurrence (3/3)

Exercice 1.
Étudier la suite {(u_n)} définie par : {\forall n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=1-\dfrac1{u_n}}.
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Exercice 2.
Étudier {(u_n)} définie par : {\forall n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\dfrac1{14}(3u_n^3-3u_n^2-4u_n)}.
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Exercice 3.
On définit une fonction {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} par : {f(x)=\begin{cases}(x-4)/2 &\text{sur }]-\infty,-2]\\3(x+1) &\text{sur }[-2,-1]\\2(x+1)/3 &\text{sur }[-1,+\infty[\end{cases}}On définit une suite {(u_n)} par la donnée de {u_0} et par : {\forall n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=f(u_n)}.
Étudier la suite {(u_n)} suivant les valeurs de {u_0}.
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Exercice 4.
Soit {a} un réel strictement positif, différent de {1}.
On se donne u_0 strictement compris entre {a} et {1}.
Pour tout entier {n}, on pose {u_{n+1}=1+a-\dfrac a{u_n}}.

  1. Montrer que les {(u_n)} sont bien définis et strictement compris entre {a} et {1}.
  2. Montrer que la suite {(u_n)} est convergente.

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