Suites définies par récurrence (3/3)

Exercice 1.
Étudier la suite {(u_n)} définie par : {\forall n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=1-\dfrac1{u_n}}.
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Le terme {u_1} est défini si {u_0\ne0}.

Le terme {u_2} est défini si {u_1\ne0}, donc si {u_0\ne1}.

On a alors {u_2=1-\dfrac1{u_1}=1-\dfrac1{1-1/u_0}=\dfrac1{1-u_0}}.

Ensuite {u_3=1-\dfrac1{u_2}=1-(1-u_0)=u_0}.

Cela implique que la suite {u} est périodique de période {3}.

Voici une illustration quand {u_0=-2}, donc {u_1=\dfrac32} et {u_2=\dfrac13} :

Exercice 2.
Étudier {(u_n)} définie par : {\forall n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\dfrac1{14}(3u_n^3-3u_n^2-4u_n)}.
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On a {u_{n+1}=f(u_n)}, où {f(x)=\dfrac1{14}(3x^3-3x^2-4x)}.

Pour tout réel {x}, on a : {\begin{array}{rl}f(x)-x&=\dfrac1{14}(3x^3-3x^2-18x)\\\\&=\dfrac3{14}x(x-3)(x+2)\end{array}}Les seules limites finies possibles sont donc {-2,0,3}.

Pour tout réel {x}, on a : {\begin{array}{rl}f'(x)&=\dfrac1{14}(9x^2-6x-4)\\\\&=\dfrac1{14}(3x-1-\sqrt5)(3x-1+\sqrt5)\end{array}}Donc {f'(0)=-\dfrac27}, {f'(-2)=\dfrac{22}7} et {f'(3)=\dfrac{59}{14}}.

Ainsi {\left|{f'(0)}\right|\lt 1}, {\left|{f'(-2)}\right|>1} et {\left|{f'(3)}\right|>1}.

Des trois points fixes, seul {0} est donc attractif.

Les deux autres sont de type répulsifs.

On note {\begin{cases}\alpha=\dfrac{1-\sqrt5}3\approx-0.412\\\\\beta=\dfrac{1+\sqrt5}3\approx1.079\end{cases}} les deux racines de {f'}.

On vérifie que : {\begin{cases}f(\alpha)=\dfrac{5\sqrt5-7}{63}\approx0.066\\\\f(\beta)=\dfrac{-5\sqrt5-7}{63}\approx-0.289\end{cases}}

Voici les variations de {f}, avec le signe de {f(x)-x} :

Voici la courbe {y=f(x)}, avec la bissectrice {y=x} :

Nous pouvons étudier la suite {u}, en fonction des valeurs de {u_0}.

On va commencer par les cas les plus simples.

  • Si {u_0\in\{-2,0,3\}}. Alors : {\forall n\in\mathbb{N}, u_n=u_0}.
  • Si {u_0\lt -2}. Pour {x\lt -2}, on a : {f(x)\lt x\lt -2}.

    En particulier {u_1\lt u_0\lt -2}.

    Par récurrence évidente : {\forall n\ge0, u_{n+1}\lt u_n\lt -2}.

    La suite {u} est donc décroissante, et elle ne peut visiblement pas converger vers une des trois seules limites possibles {-2,0,3}. On a donc {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=-\infty}.

  • Si {u_0>3}. Pour {3\lt x}, on a : {3\lt x\lt f(x)}.

    En particulier {3\lt u_0\lt u_1}.

    Par récurrence évidente : {\forall n\ge0, 3\lt u_{n}\lt u_{n+1}}.

    La suite {u} est donc croissante, et elle ne peut visiblement pas converger vers une des trois seules limites possibles {-2,0,3}.

    On a donc {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty}.

  • Si {\alpha\le u_0\le\beta}. Alors {f(\alpha)\ge u_1\ge f(\beta)}.

    Or on a : {\alpha\le f(\beta)\le f(\alpha)\le \beta}. On en déduit {\alpha\le u_1\le\beta}.

    Par récurrence évidente : {\forall n\in\mathbb{N},\alpha\le u_n\le\beta}.

    Sur {[\alpha,\beta]}, {f''(x)=\dfrac{3}{7}(3x-1)} s’annule en {\dfrac13}.

    Le maximum de {\left|{f'(x)}\right|} est donc atteint en {\dfrac13} et {\left|{f'\Big(\dfrac13\Big)}\right|=\dfrac5{14}\lt 1}.

    Ainsi {f} est contractante sur l’intervalle stable {[\alpha,\beta]}.

    On en déduit (théorème classique) que la suite {u} est convergente.

    Or la seule limite possible sur cet intervalle est {0}. Donc {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=0}.

  • Si {-2\lt u_0\le\alpha}. Alors on a : {-2\lt u_0\lt u_1\le f(\alpha)\le\beta}.

    Supposons que {u_1} vérifie encore {u_1\le\alpha}.

    Alors : {-2\lt u_1\lt u_2\le f(\alpha)\le\beta}.

    Supposons par l’absurde que pour tout {n} on ait encore {u_n\le\alpha}.

    Alors on en déduit {-2\lt u_0\le u_n\lt u_{n+1}\le\alpha} pour tout {n}.

    Il en découle que la suite {u}, croissante majorée, converge vers une limite {\ell} comprise entre {u_0} et {\alpha}, ce qui est absurde.

    Autrement dit, il existe un premier entier {m} tel que {\alpha\le u_m\le\beta}.

    A partir de cet entier, on est ramené au cas précédent, et {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=0}.

  • Si {\beta\le u_0\lt 3}. Alors : {\alpha\lt f(\beta)\le u_1\lt u_0\lt 3}.

    Supposons {\beta\le u_1}. Alors {\alpha\lt f(\beta)\le u_2\lt u_1\lt 3}.

    Supposons par l’absurde que pour tout {n} on ait encore {\beta\le u_n}.

    Alors on en déduit {\beta\le u_{n+1}\lt u_n\le u_0\lt 3} pour tout {n}.

    Il en découle que la suite {u}, décroissante minorée, converge vers une limite {\ell} comprise entre {\beta} et {u_0}, ce qui est absurde.

    Autrement dit, il existe un premier entier {m} tel que {\alpha\le u_m\le \beta}.

    A partir de cet entier, on est ramené à un cas déjà étudié, et {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=0}.

Conclusion :

  • Si {-2\lt u_0\lt 3}, {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=0}.
  • Si {u_0\in\{-2,3\}}, la suite est constante.
  • Si {u_0\lt -2} alors {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=-\infty}.
  • Si {u_0>3} alors {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty}.

Exercice 3.
On définit une fonction {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} par : {f(x)=\begin{cases}(x-4)/2 &\text{sur }]-\infty,-2]\\3(x+1) &\text{sur }[-2,-1]\\2(x+1)/3 &\text{sur }[-1,+\infty[\end{cases}}On définit une suite {(u_n)} par la donnée de {u_0} et par : {\forall n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=f(u_n)}.
Étudier la suite {(u_n)} suivant les valeurs de {u_0}.
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La fonction {f} est affine par morceaux.

Voici la courbe {y=f(x)}, avec la bissectrice {y=x}.

Ainsi {f} est croissante et continue. Son tableau de variation est évident.

L’équation {f(x)=x} a trois solutions : {-4,-\dfrac32,2}.

Ce sont les seules limites finies possibles de la suite (u_n).

On vérifie {\left|{f'(-4)}\right|\lt 1}, {\left|{f'\Big(-\dfrac32\Big)}\right|>1} et {\left|{f'(2)}\right|\lt 1}.

Les points fixes {-4} et {2} sont donc attractifs.

En revanche, le point fixe {\dfrac32} est répulsif.

Voici l’étude de la suite {u} suivant {u_0} (en abrégeant un peu).

  • Si {u_0\in\Big\{-4,-\dfrac32,2\Big\}}. Alors : {\forall n\in\mathbb{N}, u_n=u_0}.
  • Si {u_0\lt -4}. Sur {]-\infty,-4[}, on a {x\lt f(x)\lt -4}.

    Donc pour tout {n}, {u_n\lt u_{n+1}\lt -4}.

    La suite {u}, croissante majorée, converge vers {-4} (seule possibilité).

  • Si {-4\lt u_0\lt -\dfrac32}. Sur {\Big]-4,-\dfrac32\Big[}, on a {-4\lt f(x)\lt x\lt -\dfrac32}.

    Donc pour tout {n}, {-4\lt u_{n+1}\lt u_n\lt -\dfrac32}.

    La suite {u}, décroissante minorée, converge vers {-4} (seule possibilité).

  • Si {-\dfrac32\lt u_0\lt 2}. Sur {\Big]-\dfrac32,2\Big[}, on a {-\dfrac32\lt x\lt f(x)\lt 2}.

    Donc pour tout {n}, {-\dfrac32\lt u_n\lt u_{n+1}\lt 2}.

    La suite {u}, croissante majorée, converge vers {2} (seule possibilité).

  • Si {2\lt u_0}. Sur {]2,+\infty[}, on a {2\lt f(x)\lt x}.

    Donc pour tout {n}, {2\lt u_{n+1}\lt u_n}.

    La suite {u}, décroissante minorée, converge vers {2} (seule possibilité).

Conclusion :

  • Si {u_0\lt -\dfrac32} alors {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=-4}.
  • Si {u_0=-\dfrac32} alors la suite {u} est constante.
  • Si {u_0>-\dfrac32} alors {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=2}.

Exercice 4.
Soit {a} un réel strictement positif, différent de {1}.
On se donne u_0 strictement compris entre {a} et {1}.
Pour tout entier {n}, on pose {u_{n+1}=1+a-\dfrac a{u_n}}.

  1. Montrer que les {(u_n)} sont bien définis et strictement compris entre {a} et {1}.
  2. Montrer que la suite {(u_n)} est convergente.

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  1. On procède par récurrence.

    Tout d’abord {u_0} est bien défini et vérifie {(u_0-1)(u_0-a)\lt 0}.

    Soit {n} un entier naturel.

    On suppose que {u_n} est défini et que {(u_n-1)(u_n-a)\lt 0}.

    En particulier {u_n} est non nul, ce qui assure de l’existence de {u_{n+1}}.

    Ensuite, on trouve : {\begin{array}{rl}(u_{n+1}-1)(u_{n+1}-a)&=\left(a-\dfrac a{u_n}\right)\left(1-\dfrac a{u_n}\right)\\\\&=\dfrac{a}{u_n^2}(u_n-1)(u_n-a)\lt 0\end{array}}Ainsi {u_{n+1}} est strictement compris entre {1} et {a}.

    Ceci démontre la propriété au rang {n+1} et achève la récurrence.

  2. Si {f(x)=1+a-\dfrac ax} alors {f(x)-x=-\dfrac1x(x-1)(x-a)}.

    En particulier {f(x)=x\Leftrightarrow x\in\{1,a\}}.

    Les seules limites finies possibles de {(u_n)} sont donc {1} et {a}.

    Pour tout entier {n}, on a : {\begin{array}{rl}u_{n+1}-u_n&=f(u_n)-u_n\\\\&=-\dfrac1{u_n}(u_n-1)(u_n-a)>0\end{array}}La suite {u} est donc croissante. Étant bornée (donc majorée), elle est convergente.

    La limite de {u} est alors le maximum des deux valeurs possibles {1} et {a}.