Suites définies par récurrence (1/3)

Exercice 1.
Étudier la suite {(u_n)} définie par {\begin{cases}u_0\in\mathbb{R}\\u_{n+1}=u_n(1+u_n)\end{cases}}
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On a : {\forall n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}-u_n=u_n^2\ge0}. La suite {u} est croissante.

La seule limite finie possible, donnée par {\ell=\ell(1+\ell)}, est {\ell=0}.

  • Si {u_0>0} : il est clair que {u_n>0} pour tout {n}.

    Ainsi {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty} (la suite, croissante, ne peut pas converger vers {0}).

  • Si {u_0\lt -1}, alors {u_1=u_0(1+u_0)>0} ce qui ramène au cas précédent : {\displaystyle\lim_{+\infty}u_n=+\infty}.
  • Si {u_0=0}, la suite {u} est constante en 0.
  • Si {u_0=-1}, alors {u_1=0} donc : {\forall n\ge 1, u_n=0}.
  • On suppose enfin {-1\lt u_0\lt 0}.

    Pour tout {x\in]-1,0[}, on a {-1\lt x\lt f(x)\lt 0}.

    L’intervalle {]-1,0[} est donc stable par {f}.

    On en déduit : {\forall n\ge 0, -1\lt u_n\lt 0}.

    La suite {u}, croissante majorée, converge. Nécessairement {\displaystyle\lim_{+\infty}u_n=0}.

Conclusion : si {-1\le u_0\le 0}, {\displaystyle\lim_{+\infty}u_n=0}. Sinon {\displaystyle\lim_{+\infty}u_n=+\infty}.

Exercice 2.
Étudier {(u_n)} définie par u_0\in\mathbb{R} et : {\forall n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\sqrt{2u_n+35}}.
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La suite {u} est définie si {u_0\ge-\dfrac{35}2}. On a alors : {\forall n\ge1,\;u_n\ge0}.

L’équation {\ell=\sqrt{2\ell+35}} équivaut à {\ell^2-2\ell-35=0} et {\ell\ge0}.

Or {\ell^2-2\ell-35=(\ell-7)(\ell+5)}.

La seule limite finie possible de la suite {u} est donc {\ell=7}.

Pour tout entier naturel {n}, on a :
{\begin{array}{rl}u_{n+1}-7&=\sqrt{2u_n+35}-\sqrt{2\cdot7+35}\\\\&=\dfrac{2(u_n-7)}{\sqrt{2u_n+35}+7}\end{array}}On en déduit {\left|{u_{n+1}-7}\right|\le\dfrac27\left|{u_n-7}\right|}.

Par récurrence évidente : {\forall n\ge0, \left|{u_{n}-7}\right|\le\left(\dfrac27\right)^n\left|{u_0-7}\right|}.

Ainsi {\displaystyle\lim_{+\infty}\left|{u_n-7}\right|=0}, donc {\displaystyle\lim_{+\infty}u_n=7}.

Exercice 3.
Étudier la suite {(u_n)} définie par u_0\in\mathbb{R} et : {\forall n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\sqrt{12-u_n}}.
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La suite {u} est définie par {u_{n+1}=f(u_n)}, où {f(x)=\sqrt{12-x}}.

La fonction {f} est bijective décroissante de {]-\infty,12]} sur {[0,+\infty[}.

Pour que {u_1} soit défini, il est nécessaire que {u_0\le12}. Pour que {u_2} soit défini, il faut alors {u_1\le12}, c’est-à-dire {12-u_0\le144}, donc {u_0\ge-132}. Réciproquement, si {-132\le u_0\le 12}, alors {0\le u_1\le 12} puis {0\le u_n\le 12} pour tout {n}.

L’équation {\ell=f(\ell)} équivaut à {\ell^2+\ell-12=0} et {\ell\ge0}.

Or {\ell^2+\ell-12=(\ell-3)(\ell+4)}.

La seule limite finie possible de la suite {u} est donc {\ell=3}.

Pour tout {n\ge 0} : {\begin{array}{rl}u_{n+1}-3&=\sqrt{12-u_n}-\sqrt{12-3}\\\\&=\dfrac{3-u_n}{\sqrt{12-u_n}+3}\end{array}}On en déduit {\left|{u_{n+1}-3}\right|\le\dfrac13\left|{u_n-3}\right|}.

Ainsi : {\forall n\ge0, \left|{u_{n}-3}\right|\le\left(\dfrac13\right)^n\left|{u_0-3}\right|}.

On en déduit {\displaystyle\lim_{+\infty}\left|{u_n-3}\right|=0} c’est-à-dire {\displaystyle\lim_{+\infty}u_n=3}.

Remarque : la suite {u} n’est pas monotone. On montre en effet que pour tout choix de {u_0}, les suites de terme général {v_n=u_{2n}} et {w_n=u_{2n+1}} sont adjacentes, de limite commune {\ell=3}.

Exercice 4.
On se donne {(u_0>0,v_0>0)} dans \mathbb{R}^2.
Étudier les suites définies par {u_{n+1}=\dfrac{u_n^2}{u_n+v_n}} et {v_{n+1}=\dfrac{v_n^2}{u_n+v_n}}.
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Les deux suites sont bien définies et à valeurs dans \mathbb{R}^{+*}.

On a : {\forall n\in\mathbb{N},\;v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{v_n^2-u_n^2}{u_n+v_n}=v_n-u_n}.

Autrement dit la suite de terme général {d_n=v_n-u_n} est constante.

Ainsi, pour tout {n\ge0} : {v_n=u_n+v_0-u_0}.

D’autre part : {\forall n\in\mathbb{N},\dfrac{v_{n+1}}{u_{n+1}}=\left(\dfrac{v_n}{u_n}\right)^2}.

Il en découle : {\forall n\in\mathbb{N},\;\dfrac{v_{n}}{u_{n}}=\left(\dfrac{v_0}{u_0}\right)^{2^n}}.

Posons {\lambda=v_0-u_0} et {\mu=\dfrac{v_0}{u_0}}.

  • Supposons {u_0=v_0}. Alors {u_1=v_1=\dfrac{u_0}2}.

    Plus généralement : {\forall n\in\mathbb{N},\;u_n=v_n=\dfrac{u_0}{2^n}}.

    Les deux suites {(u_n)} et {(v_n)} sont alors convergentes vers {0}.

  • On suppose donc {u_0\ne v_0}, c’est-à-dire {\lambda\ne0} et {\mu\ne1}.

    On a : {\forall n\in\mathbb{N},\;v_n=u_n\;\mu^{2^n}=u_n+\lambda}, donc {u_n=\dfrac{\lambda}{\mu^{2^n}-1}}.

    • Supposons {0\lt \mu\lt 1}, c’est-à-dire {0\lt v_0\lt u_0}.

      Alors {\displaystyle\lim_{+\infty}{\mu^{2^n}}=0} donc {\displaystyle\lim_{+\infty}{u_n}=-\lambda>0} donc {\displaystyle\lim_{+\infty}{v_n}=0}.

    • Supposons {1\lt \mu}, c’est-à-dire {0\lt u_0\lt v_0}.

      Alors {\displaystyle\lim_{+\infty}{\mu^{2^n}}=+\infty} donc {\displaystyle\lim_{+\infty}{u_n}=0} donc {\displaystyle\lim_{+\infty}{v_n}=\lambda>0}.

Exercice 5.
Étudier {(u_n)} définie par {u_0\ne-\dfrac12} et : {\forall\, n\in\mathbb{N}, u_{n+1}=u_n+\dfrac{1+u_n}{1+2u_n}}.
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La suite {u} est définie par {u_{n+1}=f(u_n)}, où {f(x)=x+\dfrac{1+x}{1+2x}}.

On commence par étudier la fonction {f}.

On a {f(x)=x\Leftrightarrow x=-1} : la seule limite finie possible est donc {\ell=-1}.

Pour tout {x\ne-\dfrac12}, on a : {f'(x)=1-\dfrac{1}{(1+2x)^2}=4\dfrac{x(x+1)}{(1+2x)^2}\cdot}

On en déduit le tableau de variations de {f}, avec le signe de {f(x)-x=\dfrac{1+x}{1+2x}} :

Voici la courbe de {f}, avec l’asymptote {y=x+\dfrac12} et la bissectrice {y=x} :

On constate que {x\ne-\dfrac12\Rightarrow f(x)\ne-\dfrac12}.

Puisque {u_0\ne-\dfrac12}, cela implique que la suite {(u_n)} est bien définie.

On peut maintenant étudier la suite {u}, suivant les valeurs de {u_0}.

  • Si {u_0\lt -1}. Pour tout {x\lt -1}, on a {x\lt f(x)\lt -1}.

    En particulier {u_0\lt u_1\lt -1}, puis {u_1\lt u_2\lt -1}.

    Par une récurrence évidente : {\forall n\ge0,\,u_n\lt u_{n+1}\lt -1}.

    La suite {u}, croissante majorée, converge vers sa seule limite finie possible {\ell=-1}.

  • Si {u_0=-1}. Puisque {f(-1)=-1}, on a : {\forall n\ge0, u_n=-1}.
  • Si {-1\lt u_0\lt -\dfrac12}. On constate que {u_1=f(u_0)\lt -1}.

    On est donc ramené au premier cas: la suite {u} converge vers {-1}.

  • Si {-\dfrac12\lt u_0}. Pour {x>-\dfrac12}, on a {-\dfrac12\lt 1\le x\lt f(x)}.

    En particulier {-\dfrac12\lt u_0\lt u_1}, puis {-\dfrac12\lt u_1\lt u_2}.

    Par récurrence évidente : {\forall n\ge0,\,-\dfrac12\lt u_n\lt u_{n+1}}.

    La suite croissante {u} ne peutpas converger vers {-1} (seule limite finie possible).

    On en déduit {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty}.