Suites arithmétiques ou géometriques

Exercice 1.
Soient {a,b,c} trois réels distincts, {a} étant non nul.
On suppose que {a,b,c} sont en progression arithmétique et que {3a,b,c} sont en progression géométrique. Que dire de la raison de cette progression géométrique?
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D’une part {a+c=2b}, d’autre part il existe {q\ne0} tel que {\begin{cases}b=3aq\\ c=bq=3aq^2\end{cases}}

On en déduit {a+c=a(3q^2+1)=6aq}, puis {3q^2-6q+1=0}.

On trouve donc deux solutions : {\begin{cases}q=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\\q=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\end{cases}}

Dans le premier cas : {b=(3+\sqrt6)a}, et {c=(5+2\sqrt6)a}.

Dans le second : {b=(3-\sqrt6)a}, et {c=(5-2\sqrt6)a}.

Exercice 2.
On suppose que {a,b,c} sont en progression arithmétique.
Montrer qu’il en est de même de {b^2+bc+c^2}, {c^2+ca+a^2} et {a^2+ab+b^2}.
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On sait que {a+c=2b}.
Il suffit pour cela de vérifier que {x+z=2y}. Effectivement : {\begin{array}{rl}x+z&=b^2+bc+c^2+a^2+ab+b^2\\\\&=2b^2+b(a+c)+a^2+c^2\\\\&=2b(a+c)+a^2+c^2\\\\&=(a+c)^2+a^2+c^2\\\\&=2(a^2+ac+c^2)=2y\end{array}}

Exercice 3.
Dans quelle base de numération {\overline{123},\overline{140},\overline{156}} sont-ils en progression arithmétique ?
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Il faut trouver une base {b} telle que : {(b^2+2b+3)+(b^2+5b+6)=2(b^2+4b)}Cette condition équivaut à {b=9}.

Effectivement, en base {9}, on a : {\begin{cases}x=\overline{123}=102\\y=\overline{140}=117=x+15\\z=\overline{156}=132=y+15\end{cases}}

Exercice 4.
Soient {a,b} deux réels, et une suite {(u_n)} telle que : {\forall\, n\in\mathbb{N}^*,\;u_0+u_1+\cdots+u_{n-1}=n(an+b)}Montrer que la suite {(u_n)} est arithmétique. Calculer {u_n}.
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Pour tout entier {n\ge1}, on a :
{\begin{array}{rl}u_{n}&= \displaystyle\sum_{k=0}^nu_k- \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}u_k\\\\&=a(n+1)^2+b(n+1)-an^2-bn\\\\&=2an+a+b\end{array}}L’énoncé montre que cette expression est encore correcte si {n=0}.

La suite {(u_n)} est donc arithmétique de raison {2a}, et {u_0=a+b}.

Exercice 5.
Soit une suite {(u_n)} telle que, pour tout {n\ge2} : {(n+1)^2u_{n+1}-(n-1)^2u_n+n=0\quad\text{(E)}}

  1. Soit \lambda\in\mathbb{R}. On pose {v_n=u_n-k}.
    Trouver \lambda pour que : {\forall\, n\ge2: (n+1)^2v_{n+1}=(n-1)^2v_n}.
  2. En déduire l’expression de {v_n} puis celle de {u_n}.
  3. Que se passe-t-il si la relation (E) est vraie pour {n=1}?

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  1. Si on pose {v_n=u_n-\lambda} alors : {\begin{array}{l}(n+1)^2v_{n+1}-(n-1)^2v_n\\\\\quad=(n+1)^2(u_{n+1}-\lambda)-(n-1)^2(u_n-\lambda)\\\\\quad=(n+1)^2u_{n+1}-(n-1)^2u_n-\lambda((n+1)^2-(n-1)^2)\\\\\quad=-n(1+4\lambda)\end{array}}
    Il faut donc poser {v_n=u_n+\dfrac14} pour avoir : {\forall n\ge2, (n+1)^2v_{n+1}-(n-1)^2v_n=0}
  2. Pour tout {n\ge2}, on a : {v_{n+1}=\dfrac{(n-1)^2}{(n+1)^2}\,v_n}.

    On en déduit, pour {n\ge3} : {\begin{array}{rl}v_n&=\displaystyle\prod_{k=2}^{n-1}\dfrac{(k-1)^2}{(k+1)^2}\,v_2\\\\&=v_2\;\displaystyle\prod_{k=1}^{n-2}k^2\;\displaystyle\prod_{k=3}^n\dfrac1{k^2}\\\\&=\dfrac{4v_2}{n^2(n-1)^2}\end{array}}Cette expression de {v_n} est encore valable si {n=2}.

    On en déduit, pour tout n\ge2 : {u_n=-\dfrac14+v_n=-\dfrac14+\dfrac{4}{n^2(n-1)^2}(u_2+\dfrac14)}On constate que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{v_n}=0} et {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{u_n}=-\dfrac14}.

  3. Si (E) est vraie pour {n=1}, alors {v_2=0}, puis {v_n=0} pour tout {n\ge2}.

    Il en découle que pour tout {n\ge2} on a {u_n=-\dfrac14}.

Exercice 6.
Soit {a\in\mathbb{R}^{+*}}, {a\ne1}.
On pose {u_{0}>0} et : {\forall n\ge0,\;u_{n+1}=\dfrac{1+au_n}{a+u_n}}.

  1. Pour tout n\ge0, on pose {v_n=\dfrac{-1+u_n}{1+u_n}}.
    Vérifier que la suite {(v_n)} est géométrique de raison {\dfrac{a-1}{a+1}}.
  2. En déduire {\displaystyle\lim_{+\infty} v_n} puis {\displaystyle\lim_{+\infty} u_n}.

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  1. Par récurrence évidente, {u_n>0} pour tout {n}, et {n\ge0} : {\begin{array}{rl}v_{n+1}&=\dfrac{-1+u_{n+1}}{1+u_{n+1}}=\dfrac{-1+\dfrac{1+au_n}{a+u_n}}{1+\dfrac{1+au_n}{a+u_n}}\\\\&=\dfrac{-(a+u_n)+1+au_n}{a+u_n+1+au_n}=\dfrac{(a-1)(u_n-1)}{(a+1)(u_n+1)}\\\\&=\dfrac{a-1}{a+1}v_n\end{array}}La suite {(v_n)} est donc géométrique de raison {q=\dfrac{a-1}{a+1}}.
  2. On a : {1-q^2=\dfrac{(a+1)^2-(a-1)^2}{(a+1)^2}=\dfrac{4a}{(a+1)^2}>0}.

    Ainsi {-1\lt q\lt 1}, donc {v_n=q^nv_0\to 0} quand {n\to+\infty}.

    L’égalité {v_n=\dfrac{-1+u_n}{1+u_n}} s’écrit {u_n=\dfrac{1+v_n}{1-v_n}}.

    Puisque {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{v_n}=0} on en déduit {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{u_n}=1}.