Suites adjacentes

Exercice 1.
Montrer que {n\mapsto u_n= \displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac1{k!}} et {n\mapsto v_n=u_n+\dfrac1{n(n!)}} sont adjacentes.
Montrer que leur limite commune est irrationnelle.
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  • La suite {(u_n)} est croissante car {u_{n+1}-u_{n}=\dfrac1{(n+1)!}>0}.
  • La suite {(v_n)} est décroissante car : {\begin{array}{rl}v_{n+1}-v_{n}&=u_{n+1}-u_{n}+\dfrac{1}{(n+1)(n+1)!}-\dfrac{1}{n(n!)}\\\\&=\dfrac1{(n+1)!}+\dfrac{1}{(n+1)(n+1)!}-\dfrac{1}{n(n!)}\\\\&=\dfrac{n(n+1)+n-(n+1)^2}{n(n+1)(n+1)!}\\\\&=\dfrac{-1}{n(n+1)(n+1)!}\lt 0\end{array}}
  • Enfin : {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{v_n-u_n}=\lim_{n\rightarrow+\infty}{\dfrac1{n(n!)}}=0}.

    Ce qui précède prouve que {(u_n)} et {(v_n)} sont adjacentes.

    Elles convergent donc vers une même limite {\ell} (on peut prouver que {\ell=\text{e}}).

  • Pour tout entier {n}, on a {u_n\lt \ell\lt v_n}.

    On en déduit : {n(n!)u_n\lt n(n!)\ell\lt n(n!)v_n}.

    Mais {N=n(n!)u_n} est un entier et {n(n!)v_n=N+1}.

    Ainsi {n(n!)\ell} n’est jamais un entier, quelque soit {n}.

    Il en découle que {\ell} est irrationnel.

Exercice 2.
On se donne {(u_0,v_0)\in\mathbb{R}^2}, {\lambda\ge0} et {\mu\ge0}.
On pose : {\forall n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\dfrac{u_n+\lambda v_n}{1+\lambda},\;v_{n+1}=\dfrac{u_n+\mu v_n}{1+\mu}}
Trouver la condition pour que {(u_n)} et {(v_n)} soient adjacentes.
Dans le cas général, ces suites sont-elles convergentes, et vers quelle limite?
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  • Sachant que {\lambda\ge0} et {\mu\ge0}, alors {u_n,v_n} sont définis pour tout {n\ge0}.
  • Pour tout {n}, on a : {\begin{array}{rl}\displaystyle v_{n+1}-u_{n+1}&=\dfrac{u_n+\mu v_n}{1+\mu}-\dfrac{u_n+\lambda v_n}{1+\lambda}\\\\&=\dfrac{(\mu-\lambda)(v_n-u_n)}{(1+\mu)(1+\lambda)}\end{array}}Ainsi {n\mapsto v_n-u_n} est géométrique de raison {q=\dfrac{\mu-\lambda}{(1+\mu)(1+\lambda)}}.

    On en déduit : {\forall n\in\mathbb{N},\;v_n-u_n=q^n(v_0-u_0)}.

  • On remarque que {\left|{q}\right|\le\dfrac{\mu+\lambda}{(1+\mu)(1+\lambda)}\lt 1}.

    On en déduit {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{(v_n-u_n)}=0}.

  • Pour tout entier naturel {n}, on a : {\begin{array}{rl}u_{n+1}-u_n&=\dfrac{u_n+\lambda v_n}{1+\lambda}-u_n=\dfrac{\lambda}{1+\lambda}\,(v_n-u_n)\\\\&=\dfrac{\lambda}{1+\lambda}\,q^n(v_0-u_0)\end{array}}
    De même, pour tout entier naturel {n} : {\begin{array}{rl}v_{n+1}-v_n&=\dfrac{u_n+\mu v_n}{1+\mu}-v_n=\dfrac{u_n-v_n}{1+\mu}\\\\&=\dfrac{-1}{1+\mu}\,q^n(v_0-u_0)\end{array}}
  • On constate que si {u_0=v_0=a}, alors : {\forall n\in\mathbb{N},\;u_n=v_n=a}.

    Dans ce cas les suites {(u_n)} et {(v_n)} sont évidemment adjacentes.

    Supposons maintenant {u_0\ne v_0}. Pour que {(u_n)} et {(v_n)} soient adjacentes, il faut et il suffit que l’une soit croissante, l’autre décroissante, car on sait déjà que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{(v_n-u_n)}=0}.

    Ces conditions équivalent à {q\ge0}, c’est-à-dire {\mu\ge\lambda}.

  • Conclusion : {(u_n)} et {(v_n)} sont adjacentes si et seulement si {\mu\ge\lambda} ou {u_0=v_0}.
  • Dans tous les cas, on a : {\begin{array}{rl}u_n&=u_0+ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(u_{k+1}-u_{k})\\\\&=u_0+\dfrac{\lambda(v_0-u_0)}{1+\lambda}\, \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}q^k\\\\&=u_0+\dfrac{\lambda(v_0-u_0)}{1+\lambda}\,\dfrac{1-q^n}{1-q}\end{array}}On en déduit : {\begin{array}{rl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{u_n}&=u_0+\dfrac{\lambda(v_0-u_0)}{(1+\lambda)(1-q)}\\\\&=u_0+\dfrac{\lambda(1+\mu)}{1+2\lambda+\mu\lambda}\,(v_0-u_0)\end{array}}Finalement : {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{u_n}=\lim_{n\rightarrow+\infty}{v_n}=\dfrac{(1+\lambda)u_0+\lambda(1+\mu)v_0}{1+2\lambda+\lambda\mu}}

Exercice 3.
Étudier {(u_n),(v_n)} définies {\begin{cases}u_0=a>0\\v_0=b>0\end{cases}} et {\begin{cases}u_{n+1}=\sqrt{u_nv_n}\phantom{\biggl(}\\v_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}2\end{cases}}
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Par récurrence évidente, les suites {(u_n),(v_n)} sont bien définies et à valeurs dans {\mathbb{R}^{+*}}.

Pour tout {n\ge0}, on a : {\begin{array}{rl}v_{n+1}-u_{n+1}&=\dfrac{u_n+v_n}2-\sqrt{u_nv_n}\\\\&=\dfrac12(\sqrt{v_n}-\sqrt{u_n})^2\ge0\end{array}}On en déduit que : {\forall n\ge1,\;u_n\le v_n}.

Dans ces conditions, pour tout n\ge0 : {u_{n+1}=\sqrt{u_nv_n}\ge u_n\text{\ et\ }v_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}2\le v_n}Ainsi {(u_n)} est croissante, et {(v_n)} décroissante, à partir de {n=1}.

Avec ce qui précède, on a : {\forall n\ge1,\; u_1\le u_n\le v_n\le v_1}.

Ainsi {(u_n)} est croissante majorée, et {(v_n)} est décroissante minorée.

On en déduit que ces deux suites sont convergentes.

Posons {\ell=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{u_n}} et {\ell'=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{v_n}}.

Quand n\to+\infty dans {v_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}2}, on trouve {\ell'=\dfrac{\ell+\ell'}2} donc {\ell=\ell'}.

Conclusion : les deux suites {(u_n)} et {(v_n)} sont adjacentes.

Exercice 4.
On pose {u_0=a\gt0} et {v_0=b\gt0}.
Pour tout {n\in\mathbb{N}}, on pose {\dfrac 2{u_{n+1}}=\dfrac 1{u_n}+\dfrac{1}{v_n}} et {v_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}2}.
Montrer que les suites {(u_n)} et {(v_n)} sont adjacentes.
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Par récurrence évidente, les suites {(u_n),(v_n)} sont bien définies et à valeurs dans \mathbb{R}^{+*}.

Pour tout {n\ge0}, on a : {\begin{array}{rl}v_{n+1}-u_{n+1}&=\dfrac{u_n+v_n}2-\dfrac{2u_nv_n}{u_n+v_n}\\\\&=\dfrac{(v_n-u_n)^2}{2(u_n+v_n)}\ge0\end{array}}On en déduit que : {\forall n\in\mathbb{N}^*,\;u_n\le v_n}.

Ainsi : {\forall n\in\mathbb{N},\;\dfrac 2{u_{n+1}}=\dfrac 1{u_n}+\dfrac 1{v_n}\le\dfrac 2{u_n}}, donc {u_n\le u_{n+1}}.

De même : {\forall n\in\mathbb{N},\;v_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}2\le v_n}.

Ainsi {(u_n)} est croissante, et {(v_n)} décroissante, à partir de {n=1}.

Avec ce qui précède, on a : {\forall n\ge1,\; u_1\le u_n\le v_n\le v_1}.

Ainsi {(u_n)} est croissante majorée, et {(v_n)} est décroissante minorée.

On en déduit que ces deux suites sont convergentes.

Posons {\ell=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{u_n}} et {\ell'=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{v_n}}.

Quand n\to+\infty dans {v_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}2} on trouve {\ell'=\dfrac{\ell+\ell'}2} donc {\ell=\ell'}.

Conclusion : les deux suites {(u_n)} et {(v_n)} sont adjacentes.

Exercice 5.
On définit la suite {n\mapsto u_n=1-\dfrac1{1!}+\dfrac1{2!}-\cdots+(-1)^n\dfrac1{n!}}.
Montrer qu’elle converge et que sa limite est un irrationnel.
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Pour tout entier {n\ge0}: {u_{2n+2}-u_{2n}=\dfrac1{(2n+2)!}-\dfrac1{(2n+1)!}\lt 0}.

De même : {\forall n\ge1,\;u_{2n+1}-u_{2n-1}=-\dfrac1{(2n+1)!}+\dfrac1{(2n)!}>0}.

Enfin {u_{2n+1}-u_{2n}=-\dfrac1{(2n+1)!}} tend vers {0} quand {n\to+\infty}.

Les suites {(a_n=u_{2n})} et {(b_n=u_{2n+1})} sont donc adjacentes.

Elles sont donc convergentes et ont une même limite {\ell}.

Il en découle que {(u_n)} converge vers {\ell}.

D’autre part : {\forall n\ge0,\;u_{2n+1}=u_{2n}-\dfrac1{(2n+1)!}\lt \ell\lt u_{2n}}.

On remarque que {N=(2n+1)!u_{2n}} est entier.

L’encadrement de \ell s’écrit {N-1\lt (2n+1)!\ell\lt N}.

Ainsi {(2n+1)!\ell} n’est jamais entier, donc {\ell} est irrationnel.

Remarque : on montre que {\ell=\dfrac1{\text{e}}}.