Limites de suites par encadrement

Exercice 1.
Que dire de deux suites {(u_n)} et {(v_n)} de {[0,1]} telles que {\displaystyle\lim_{+\infty}u_nv_n=1} ?
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Pour tout {n}, on a : {\begin{cases}0\le u_nv_n\le u_n\le 1\\ 0\le u_nv_n\le v_n\le1\end{cases}}

On en déduit : {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{u_n}=\lim_{n\rightarrow+\infty}{v_n}=1}.

Exercice 2.
Limite de la suite de terme général {u_n=\dfrac1{n!}(1!+2!+\cdots+n!)}.
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On écrit {u_n=\dfrac1{n!} \displaystyle\sum_{k=1}^{n-2}\,k!+\dfrac1n+1\ge 1}.

Pour chaque {k} de {\{1,\ldots,n-2\}}, on a {k!\le (n-2)!}.

On en déduit un encadrement de {u_n} : {1\le u_n\le 1+\dfrac1n+(n-2)\dfrac{(n-2)!}{n!}}Ainsi: {\forall n\ge 2,\;1\le u_n\le 1+\dfrac1n+\dfrac{n-2}{n(n-1)}}.

Il en découle : {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{u_n}=1}.

Exercice 3.
Limite de la suite de terme général {u_n=\displaystyle\prod_{k=1}^n(1+\dfrac k{n^2})}.
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Montrons que pour {x\ge0}, on a : {x-\dfrac12x^2\le\ln(1+x)\le x}.

On pose {\varphi(x)=x-\ln(1+x)} et {\psi(x)=\ln(1+x)-x+\dfrac12x^2}.

Pour {x\ge0}, on a : {\varphi'(x)=1-\dfrac1{1+x}=\dfrac{x}{1+x}\ge0}.

Pour {x\ge0}, on a : {\psi'(x)=\dfrac1{1+x}-1+x=\dfrac{x^2}{1+x}\ge0}.

Ainsi les fonctions {\varphi} et {\psi}, nulles en {0}, sont croissantes sur {\mathbb{R}^+}.

On en déduit qu’elles sont positives sur {\mathbb{R}^+}, ce qu’il fallait prouver.

Pour {n\ge1}, on a : {\ln u_n= \displaystyle\sum_{k=1}^n\ln(1+\dfrac{k}{n^2})}.

Ainsi, en encadrant chaque terme de la somme : { \displaystyle\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{k}{n^2}-\dfrac{k^2}{2n^4}\right)\le\ln u_n\le \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n^2}}Ainsi : {\dfrac{n+1}{2n}-\dfrac{(n+1)(2n+1)}{12n^3}\le\ln u_n\le\dfrac{n+1}{2n}}.

On fait tendre {n} vers {+\infty} et on trouve : {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{\ln u_n}=\dfrac12\text{\ donc\ }\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{u_n}=\sqrt{\text{e}}}

Exercice 4.
Limite de la suite {u_n=\dfrac n{n^2+1}+\dfrac n{n^2+2}+\cdots+\dfrac n{n^2+n}}.
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Par définition, {u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{n}{n^2+k}}.

Pour {1\le k\le n}, on a : {\dfrac{n}{n^2+n}\le\dfrac{n}{n^2+k}\le\dfrac{n}{n^2+1}}

On en déduit l’encadrement {\dfrac{n^2}{n^2+n}\le u_n\le\dfrac{n^2}{n^2+1}}.

En conclusion : {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{u_n}=1}.

Exercice 5.
Calculer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\,\dfrac1{n^2}(\lfloor{x}\rfloor+\lfloor{2x}\rfloor+\cdots+\lfloor{nx}\rfloor)}.
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Pour tout {(x,k)} de {\mathbb{R}\times\mathbb{N}}, on a {kx\le\lfloor{kx}\rfloor\lt kx+1}.

Ainsi : {\dfrac{x}{n^2}\; \displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\le u_n(x)\lt \dfrac1{n^2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(kx+1)}.

Autrement dit : {\dfrac{n+1}{2n}\,x\le u_n(x)\lt \dfrac{n+1}{2n}\,x+\dfrac1n}.

On en déduit {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{u_n(x)}=\dfrac{x}2}.

Exercice 6.
Calculer la limite de la suite de terme général {u_n= \displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac1{\binom{n}{k}}\,}.
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En isolant les quatre termes extrêmes dans la somme, on écrit : {\begin{array}{rl}u_n&=\dfrac1{\binom{n}{0}}+\dfrac1{\binom{n}1}+ \displaystyle\sum_{k=2}^{n-2}\dfrac1{\binom{n}{k}} +\dfrac1{\binom{n}{n-1}}+\dfrac1{\binom{n}{n}}\\\\&=2+\dfrac2n+ \displaystyle\sum_{k=2}^{n-2}\dfrac1{\binom{n}{k}}\end{array}}Pour {n\ge4} et pour {k\in\{2,\ldots,n-2\}}, on a : {\displaystyle\binom{n}{k}\ge\binom{n}{2}\text{\ et\ }\displaystyle\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}2}

Ainsi {2\le u_n\le 2+\dfrac2n+\dfrac{2(n-3)}{n(n-1)}} donc : {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{u_n}=2}.