Limite et continuité en un point (3/3)

Exercice 1.
Soit {f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}} telle que {\begin{cases}f(1)=1;\;\forall x\ne0,\;f(x)\,f\Bigl(\dfrac1x\Bigr)=1\quad(1)\phantom{\biggl(}\\\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;f(x+y)=f(x)+f(y)\quad (2)\end{cases}}

  1. Montrer que {f} est impaire.
  2. Prouver que pour tout rationnel {x}, {f(x)=x}.
  3. Vérifier que pour tout réel {x}, {f(x^2)=f(x)^2}.
  4. En déduire que {f} est croissante.
  5. Prouver finalement que pour tout réel {x}, {f(x)=x}.

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  1. On pose {x=y=0} dans (2) et on trouve {f(0)=0}.

    Avec {y=-x} dans (2) : {0=f(0)=f(x)+f(-x)}, donc {f} est impaire.

  2. Avec {(n,a)\in\mathbb{N}\times\mathbb{R}}, l’égalité (2) donne {f((n+1)a)=f(na)+f(a)}.

    Puisque {f(0)=0}, une récurrence donne : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;f(na)=nf(a)}.

    L’imparité de {f} donne ensuite : {\forall n\in\mathbb{Z},\;f(na)=nf(a)}.

    Avec {a=1}, sachant {f(1)=1}, on trouve : {\forall n\in\mathbb{Z},\;f(n)=n}.

    Soit {q\in\mathbb{Z}^*}. L’égalité (1) donne {1=f(q)f\Big(\dfrac1q\Big)=qf\Big(\dfrac1q\Big)} donc {f\Big(\dfrac1q\Big)=\dfrac 1q}.

    Soit {x=\dfrac{p}{q}} un rationnel. On a {f(x)=f\Big(p\cdot\dfrac1q\Big)=p\,f\Big(\dfrac1q\Big)=p\cdot\dfrac1q=x}.

    On a donc montré {f(x)=x} pour tout {x} de {\mathbb{Q}}.

  3. Soit {x\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}}. On a successivement : {\begin{array}{l}f\Bigl(\dfrac1{x(1-x)}\Bigr)=f\Bigl(\dfrac1x+\dfrac1{1-x}\Bigr)\\\\\qquad=f\Bigl(\dfrac1x\Bigr)+f\Bigl(\dfrac1{1-x}\Bigr)=\dfrac1{f(x)}+\dfrac{1}{f(1-x)}\\\\\qquad=\dfrac1{f(x)}+\dfrac{1}{f(1)+f(-x)}=\dfrac1{f(x)}+\dfrac{1}{1-f(x)}\\\\\qquad=\dfrac{1}{f(x)(1-f(x))}\end{array}}On sait que {f(x(1-x))\,f\Bigl(\dfrac1{x(1-x)}\Bigr)=1}.

    Il en résulte {f(x(1-x))=f(x)(1-f(x))}.

    Ainsi {f(x)-f(x^2)=f(x)-f^2(x)} donc {f(x^2)=f(x)^2}.

    Enfin on observe que {f(x^2)=f(x)^2} vaut encore si {x=0} ou {x=1}.

  4. Pour tout {z\ge0}, on a {f(z)=f(\sqrt{z}\,^2)=f(\sqrt z)^2} donc {f(z)\ge0}.

    Soient {x,y} deux réels tels que {x\le y}.

    On a {y-x\ge0} donc {f(y-x)\ge0}.

    On en déduit {f(y)=f(x+(y-x))=f(x)+f(y-x)\ge f(x)}.

    On a ainsi démontré que {f} est croissante.

  5. Soit {x} un réel quelconque.

    Il existe une suite croissante {(u_n)} de {\mathbb{Q}}, telle que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=x}.

    De même, il existe une suite décroissante {(u_n)} de {\mathbb{Q}}, telle que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=x}.

    (considérer les valeurs approchées de {x} à {10^{-n}} près, par défaut ou par excès)

    Pour tout entier {n}, on a {u_n\le x\le v_n}.

    Il en résulte {f(u_n)\le f(x)\le f(v_n)} car {f} est croissante.

    Puisque {u_n,v_n} sont rationnels, on a {f(u_n)=u_n} et {f(v_n)=v_n} pour tout {n}.

    Par passage à la limite dans {u_n\le f(x)\le v_n}, il vient {f(x)=x}.

    La fonction {f} est nécessairement l’identité de {\mathbb{R}}.

    Réciproquement, l’identité est effectivement solution du problème!

Exercice 2.
Pour tout {x} de {I=\,]0,1[}, de développement décimal {x=0,r_1r_2\ldots r_n\ldots},
on pose {f(x)=0,r_2r_1r_4r_3\ldots} Étudier la continuité de {f}.
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On considère des développements propres” (par exemple {x=0.2} plutôt que {x=0.199999\ldots})

  • Montrons que {x} est discontinue en tout {x} décimal de {]0,1[}. Soit {x} un décimal.

    On peut l’écrire {x=0.r_1r_2\cdots r_{m-1}r_{m}=\displaystyle\sum_{k=1}^{m} r_k10^{-k}}, avec {1\le r_m\le 9}.

    Pour tout {n}, soit {x_n=0.r_1r_2\cdots r_{m-1}(r_{m}-1)99\cdots9} (où {9} apparaît {n} fois à la fin).

    Exemple, si {x=0.158} : {x_0=0.157}, {x_1=0.1579}, {x_2=0.15799}, {x_3=0.157999}, etc.

    Il est clair que la suite {(x_n)_{n\ge0}} est convergente vers {x}.

    Pourtant la suite {n\mapsto y_n=f(x_n)} ne converge pas vers {y=f(x)}.

    Pour s’en rendre compte, il y a deux cas suivant la parité de {m}.

    • Si {m} est pair, notons {m=2p}.

      On a respectivement {\begin{cases} x=0.r_1r_2\ldots r_{2p-1}r_{2p}\\f(x)=0.r_2r_1\ldots r_{2p}r_{2p-1}\end{cases}}

      On trouve {\begin{cases} x_n=0.r_1r_2\ldots r_{2p-1}(r_{2p}-1)99\ldots 9\\f(x_n)=0.r_2r_1\ldots (r_{2p}-1)r_{2p-1}99\ldots 9\end{cases}}
      (le chiffre {9} apparait {n} fois à la fin).

      Remarque : si {n} est impair, {f(x_n)} se termine par {09} mais ça ne change rien à la suite. On a : {\begin{array}{rl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}f(x_n)&=0.r_2r_1\ldots (r_{2p}-1)(r_{2p-1}+1)\\\\&=f(x)+10^{2p}-10^{2p-1}=f(x)+9\cdot10^{2p-1}\end{array}}

    • Si {m} est impair, notons {m=2p+1}.

      On a respectivement {\begin{cases}x=0.r_1r_2\ldots r_{2p-1}r_{2p}r_{2p+1}0\\f(x)=0.r_2r_1\ldots r_{2p}r_{2p-1}0r_{2p+1}\end{cases}}

      Ainsi {\begin{cases} x_n=0.r_1r_2\ldots r_{2p-1}r_{2p}(r_{2p+1}-1)99\ldots 9\\f(x_n)=0.r_2r_1\ldots r_{2p}r_{2p-1}9(r_{2p+1}-1)9\ldots 9\end{cases}}

      On a {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}f(x_n)=0.r_2r_1\ldots r_{2p}r_{2p-1}9r_{2p+1}=f(x)+9\cdot10^{2p}}

    • Dans les deux cas : {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}x_n=x} et {\displaystyle\lim_{n+\rightarrow\infty}f(x_n)=f(x)+9\cdot 10^{m-1}\ne f(x)}.

      Il en découle que la fonction {f} est discontinue sur tout {x} décimal de {]0,1[}.

  • On se donne maintenant un élément {x_0} de {]0,1[}, non décimal.

    On va montrer que la fonction {f} est continue au point {x_0}.

    Pour cela soit {\varepsilon>0}, et {m} un entier tel que {10^{-2m}\le\varepsilon}.

    On note {a=\displaystyle\sum_{k=1}^{2m}r_k10^{-k}} la valeur approchée de {x_0} à {10^{-2m}} près par défaut.

    Puisque {x_0} n’est pas décimal, on a : {a\lt x_0\lt a+10^{-2m}}.

    Soit {\alpha>0} un réel tel que {]x_0-\alpha,x_0+\alpha[\,\subset\,]a,a+10^{-2m}[}.

    Tous les {x\in]x_0-\alpha,x_0+\alpha[} ont les mêmes {2m} premiers chiffres décimaux que {x_0}.

    Leurs images {f(x)} ont donc les mêmes {2m} premiers chiffres décimaux que {f(x_0)}.

    En particulier, pour tout {x} de {]x_0-\alpha,x_0+\alpha[}, on a {\left|{f(x)-f(x_0)}\right|\le 10^{-2m}\le\varepsilon}.

    Ce résultat traduit la continuité de {f} au point {x_0}.

  • Conclusion: {f} est discontinue sur les décimaux, et continue sur les non-décimaux.
  • Remarque : la fonction {f} est visiblement involutive de {]0,1[} sur lui-même.

Exercice 3.
Soit {f} une fonction croissante sur {[a,b]}.
Montrer que l’ensemble de ses points de discontinuité est au plus dénombrable.
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Notons {\mathcal D} l’ensemble des points de discontinuité de {f} sur {]0,1[}.

Puisque {f} est croissante, {\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)} et {\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)} existent dans {\mathbb{R}} pour tout {x_0\in{\mathcal D}}.

Plus précisément, on a : {\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)\le f(x_0)\le \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)}.

Notons {d(x_0)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)-\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)>0} l’amplitude de la discontinuité en {x_0}.

Pour tout {n\in\mathbb{N}^*}, soit {{\mathcal D}_{n}} l’ensemble des {x_0\in\mathcal D } tels que {d(x_0)\ge\dfrac1n}.

Notons {x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_p} des éléments distincts de {{\mathcal D}_n}.

Puisque {f} est croissante, on a : {\begin{array}{rl}f(0)&\le \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_1^-}f(x)\le \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_1^+}f(x)\\\\&\le \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_2^-}f(x)\le \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_2^+}f(x)\\\\&\le\cdots\le \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_p^-}f(x)\le \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_p^+}f(x)\le f(1)\end{array}}Ainsi {f(1)-f(0)\ge\displaystyle\sum_{k=1}^{p} d(x_k)\ge \dfrac{p}{n}}, donc {p\le n(f(1)-f(0))}.

Ceci prouve que {{\mathcal D}_n} est un ensemble fini. Or {{\mathcal D}=\bigcup\limits_{n\ge1}{\mathcal D}_n}.

L’ensemble {{\mathcal D}}, union dénombrable d’ensembles finis, est donc un ensemble dénombrable.

Exercice 4.
Donner un exemple d’une fonction {f:[0,1]\rightarrow[0,1]}, strictement croissante
et ayant une infinité dénombrable de points de discontinuité.
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On définit {f} sur chaque {J_n=]a_n,a_{n-1}]=\Bigl]\dfrac{1}{2^{n}},\dfrac{1}{2^{n-1}}\Bigr]}, avec {n\in\mathbb{N}^*}.

Pour {x\in J_n}, on pose {f(x)=\dfrac{x}{2^n}+\dfrac{1}{2^{2n-1}}}.

En particulier, {f(1)=f(a_0)=1}.

La fonction {f} est strictement croissante sur chaque {J_n}.

Elle est continue sur l’intérieur de {J_n}.

D’autre part : {\displaystyle\lim_{x\rightarrow a_n^+}f(x)=\dfrac{a_n}{2^n}+\dfrac{1}{2^{2n-1}}=\dfrac{3}{2^{2n}}}.

De même : {\displaystyle\lim_{x\rightarrow a_n^-}f(x)=\dfrac{a_n}{2^{n+1}}+\dfrac{1}{2^{2n+1}}=\dfrac{1}{2^{2n}}}.

Ainsi {f} est discontinue en chaque {a_n} et {\displaystyle\lim_{x\rightarrow a_n^-}f(x)\lt \displaystyle\lim_{x\rightarrow a_n^+}f(x)}.

On complète enfin la définition de {f} en posant {f(0)=0}.

On voit facilement que {f} est continue en {0}.

On voit également qu’elle est strictement croissante sur {[0,1]}.

On vérifie également que : \forall x\in[0,1],\;f\Big(\dfrac{x}{2}\Bigr)=\dfrac{f(x)}{4}.

On a ainsi un exemple de fonction strictement croissante sur {[0,1]} avec une infinité dénombrable de discontinuités. Voici une idée de la représentation graphique de f sur [0,1] :