Intégration par astuce

Exercice 1.
Calculer l’intégrale {I=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\dfrac{\cos x}{\cos x+\sin x}\,\text{d}x}.
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On pose {J=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\dfrac{\sin x}{\cos x+\sin x}\,\text{d}x}.

On constate que {I+J=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\,\text{d}x=\dfrac\pi4}.

D’autre part : {\begin{array}{rl}I-J&=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\dfrac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\,\text{d}x\\\\&=\Bigl[\ln(\cos x+\sin x)\Bigr]_0^{\pi/4}=\dfrac{\ln2}2\end{array}}On en déduit : {I=\dfrac\pi8+\dfrac{\ln2}4}.

Exercice 2.
Calculer l’intégrale {I=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{\cos^3x}{\cos^3x+\sin^3x}\text{d}x}.
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Le changement de variable {t=\dfrac\pi2-x} donne :{\begin{array}{rl}I&=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{\cos^3x}{\cos^3x+\sin^3x}\,\text{d}x\\\\&=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{\sin^3t}{\sin^3t+\cos^3t}\,\text{d}t\end{array}}Ainsi {I=J}, avec {J=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{\sin^3x}{\cos^3x+\sin^3x}\,\text{d}x}.

Or {I+J=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\,\text{d}x=\dfrac\pi2}. Donc {I=\dfrac\pi4}.

Exercice 3.
Calculer {I=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\ln(1+\tan x)\,\text{d}x} et {J=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(1+x)}{1+x^2}\text{d}x}.
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Avec {t=\dfrac\pi4-x}, on a : {\begin{array}{rl}1+\tan x&=1+\tan\bigl(\dfrac\pi4-t\bigr)=1+\dfrac{1-\tan t}{1+\tan t}\\\\&=\dfrac2{1+\tan t}\end{array}}On en déduit : {\begin{array}{rl}I&=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\ln(1+\tan x)\,\text{d}x\\\\&=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\bigl(\ln2-\ln(1+\tan t)\bigr)\,\text{d}t=\dfrac\pi4\ln2-I\end{array}}Ainsi {I=\dfrac\pi8\ln2}.

Pour calculer {J}, on pose {t=\arctan x}, donc {\,\text{d}t=\dfrac{\,\text{d}x}{1+x^2}}. Ainsi :{\begin{array}{rl}J&=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(1+x)}{1+x^2}\,\text{d}x\\\\&=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\ln(1+\tan t)\,\text{d}t=I=\dfrac\pi8\ln2\end{array}}

Exercice 4.
Calculer l’intégrale {I=\displaystyle\int_{-1}^{1}\arctan\text{e}^x\,\text{d}x}.
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Avec {t=-x}, on trouve {I=J}, avec {J=\displaystyle\int_{-1}^{1}\arctan\text{e}^{-t}\,\text{d}t}.

Mais {I+J=\displaystyle\int_{-1}^{1}\Bigl(\arctan\text{e}^x+\arctan\text{e}^{-x}\Bigr)\,\text{d}x=\displaystyle\int_{-1}^{1}\dfrac\pi2\,\text{d}x=\pi}.

En conclusion : I=\dfrac{\pi}{2}.