Généralités sur les limites de suites

Exercice 1.
Étudier {\displaystyle\lim_{+\infty}\lfloor{u_n}\rfloor} dans le cas où {\displaystyle\lim_{+\infty} u_n=\ell}.
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  • Si {\ell=\pm\infty}, alors {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{\lfloor{u_n}\rfloor}=\ell} (conséquence de {u_n-1\lt \lfloor{u_n}\rfloor\le u_n}).

    Dans la suite, on suppose que {\ell} est un réel.

  • Supposons que {\ell} ne soit pas entier.

    Notons {k=\lfloor\ell\rfloor}. On a {k\lt \ell\lt k+1}.

    Soit {\varepsilon>0} tel que {k\lt \ell-\varepsilon\lt \ell+\varepsilon\lt k+1}.

    Il existe {n_0} tel que {n\ge n_0\Rightarrow \ell-\varepsilon\le u_n\le\ell+\varepsilon}.

    Pour tout {n\ge n_0}, on a donc : {\lfloor{u_n}\rfloor=k=\lfloor\ell\rfloor}.

    Ainsi {(\lfloor{u_n}\rfloor)_{n\ge0}} est stationnaire (donc convergente) en {\lfloor{\ell}\rfloor}.

  • Si {\ell} est un entier, alors plusieurs cas sont possibles :

    — Si {\exists n_0} tel que {n\ge n_0\Rightarrow u_n\ge\ell}, alors {(\lfloor{u_n}\rfloor)} stationne (donc converge) en {\ell}.

    — Si {\exists n_0} tq {n\ge n_0\Rightarrow u_n\lt \ell}, alors {(\lfloor{u_n}\rfloor)} stationne (donc converge) en {\ell-1}.

    — Dans les autres cas, c’est-à-dire si pour tout {N} il existe {n_0\ge N} et {n_1\ge N} tels que {u_{n_0}\lt \ell} et {u_{n_1}\ge\ell} alors la suite de terme {(\lfloor{u_n}\rfloor)} n’est pas convergente (elle possède une suite extraite convergeant vers {\ell} et une autre vers {\ell-1}).

    Par exemple si {u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}}, alors {\lfloor{u_{2n}}\rfloor=0} et {\lfloor{u_{2n+1}}\rfloor=-1}.

Exercice 2.
Limite des suites de terme général {u_n=\sqrt[n] n} et {v_n=\sqrt[n] {n!}}
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  • On a {\ln u_n=\dfrac1n\ln n}. Ainsi {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{\ln u_n}=0}, donc {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{u_n}=1}.
  • Dans le produit {n!=\displaystyle\prod_{k=1}^n k}, il y a au moins {\dfrac n2} termes {\ge\dfrac{n}2}.

    On en déduit {n!\ge(\dfrac{n}2)^{n/2}} puis {v_n\ge\sqrt{\dfrac{n}2}}.

    Il en découle {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{v_n}=+\infty}.

Exercice 3.
Soit {(u_n)} une suite dont les suites extraites {(a_n=u_{2n})} et {(b_n=u_{3n})} convergent respectivement vers {\ell} et {\ell'}. Montrer que {\ell=\ell'}.
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Pour tout entier {n}, posons {c_n=u_{6n}}.

  • On a {c_n=a_{3n}}. La suite {(c_n)} est extraite de {(a_n)} donc converge vers {\ell}.
  • On a {c_n=b_{2n}}. La suite {(c_n)} est extraite de {(b_n)}.
    On en déduit que la suite {(c_n)} est convergente de limite {\ell'}.
  • Par unicité de la limite, il en découle {\ell=\ell'}.

Exercice 4.
On se donne une suite numérique {(u_n)}.
On suppose que les suites extraites {(u_{2n})}, {(u_{2n+1})} et {(u_{3n})} convergent.
Montrer que la suite {(u_n)} converge.
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Notons {\ell_a,\ell_b,\ell_c} les limites respectives des suites {(a_n)}, {(b_n)} et {(c_n)}.

La suite de terme général {x_n=u_{6n}=a_{3n}=c_{2n}} est extraite de la suite {(a_n)}.

La suite {(x_n)} est donc convergente de limite {\ell_a}.

Mais la suite {(x_n)} est également extraite de la suite {(c_n)}.

Elle converge donc vers {\ell_c}.

Par unicité de la limite, on en déduit {\ell_a=\ell_c}.

De même, la suite de terme général {y_n=u_{6n+3}=b_{3n+1}=c_{2n+1}} est extraite de la suite {(b_n)} (donc convergente de limite {\ell_b}) et extraite de la suite {(c_n)} (donc convergente de limite {\ell_c}).

Par unicité de la limite, on en déduit {\ell_b=\ell_c}.

Finalement {\ell_a=\ell_b}. La suite des termes d’indices pairs et la suite des termes d’indices impairs de la suite {(u_n)} sont donc convergentes vers la même limite. On en déduit que la suite {(u_n)} est convergente vers {\ell=\ell_a=\ell_b}.