Fonctions convexes (1/2)

Exercice 1.
Montrer que : {\forall\lambda\in\mathbb{R},\;\forall x\in[-1,1],\;\text{e}^{\lambda x}\le\,\text{ch}\lambda+x\,\text{sh}\lambda}.
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Exercice 2.
Soit {f:I\rightarrow\mathbb{R}}, continue, telle que : {\forall\,(x,y)\in I^2,f\Bigl(\dfrac{x+y}2\Bigr)\le\dfrac{f(x)+f(y)}{2}}Montrer que {f} est convexe.
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Exercice 3.
Soit {f:I\rightarrow J} convexe et strictement monotone.
Étudier la convexité de {f^{-1}:J\rightarrow I}.
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Exercice 4.
Soient {f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} convexes, avec {g} croissante.
Montrer que la fonction {g\circ f} est convexe.
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Exercice 5.
Soit {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{+*}}. Montrer que si {\ln(f)} convexe alors {f} est convexe.
La réciproque de cette propriété est-elle vraie?
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Exercice 6.
Soient {f,g:I\rightarrow\mathbb{R}} convexes.
Les fonctions {\sup(f,g)} et {\inf(f,g)} sont-elles convexes?
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