Continuité sur un intervalle (3/3)

Exercice 1.
Soit {\lambda} un réel strictement compris entre {0} et {1}.
Prouver qu’il existe un unique x_n>0 tel que {\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k!}=\lambda\exp x}.
Montrer que {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}x_n=+\infty}.
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Exercice 2.
Soit {f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}}, continue, telle que {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\bigl(f(x+1)-f(x)\bigr)=\ell}.
Montrer que {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{f(x)}x=\ell}.
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Exercice 3.
Soit {f} une fonction continue de {[a,b]} dans {\mathbb{R}}.
On suppose que : {\forall\,x\in[a,b],\;\exists\varepsilon_x>0,\;f(x)=\dfrac12(f(x+\varepsilon_x)+f(x-\varepsilon_x))}.
Montrer que {f} est une fonction affine.
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Exercice 4.
Trouver les fonctions continues {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} telles que : {\forall\, (x,y)\in\mathbb{R}^2,f\Bigl(\dfrac{x+y}2\Bigr)=\dfrac{f(x)+f(y)}2}
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Exercice 5.
Trouver les fonctions continues {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} telles que : {(E)\quad\forall x,y:f(x+y)=f(x)+f(y)}
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Exercice 6.
Soit {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} une fonction continue.
Une partie de {\mathbb{R}} est dite compacte si elle est fermée bornée.
Montrer que {\displaystyle\lim_{x\rightarrow\pm\infty}|f(x)|=+\infty} si et seulement si l’image réciproque par {f} de tout compact est un compact.
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