Continuité sur un intervalle (2/3)

Exercice 1.
Montrer qu’il n’existe pas de fonction continue {f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}} telle que :
– L’image de tout rationnel est un irrationnel.
– L’image de tout irrationnel est un rationnel.
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Exercice 2.
Soit {f:I\rightarrow\mathbb{R}}, continue injective. Montrer que {f} est strictement monotone.
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Exercice 3.
Soit {f,g} continues de {[0,1]} dans lui-même, telles que {g\circ f=f\circ g}.
Montrer qu’il existe {x_{0}} dans {[0,1]} tel que {f(x_{0})=g(x_{0})}.
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Exercice 4.
Déterminer les {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} telles que : {\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\;|f(x)-f(y)|=|x-y|}.
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Exercice 5.
Soit {f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}}, continue et telle que {f(0)=f(1)}.

  1. Montrer que : {\forall\, n\in\mathbb{N}^*,\;\exists\,\alpha_n\in\Big[0,1-\dfrac{1}{n}\Big],\;f\Big(\alpha_n+\dfrac1n\Big)=f(\alpha_n)}.
  2. Et si on remplace {\dfrac 1n} par {\lambda\in\,]0,1[}, avec {\dfrac1\lambda\notin\mathbb{N}^*}?

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Exercice 6.
On pose : {\forall n\in \mathbb{N}^*,\;\forall x\in\mathbb{R}^+,\;f_n(x)=x^n+x^{n-1}+\cdots+x-1}.

  1. Montrer qu’il existe un unique {u_n} positif tel que {f_n(u_n)=0}.
  2. Montrer que la suite {(u_n)} est convergente vers {1/2}.

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