Accroissements finis

Exercice 1.
Appliquer la formule des accroissements finis à {f(x)=ax^2+bx+c} entre {x_0} et {x_0+h}. Que remarque-t-on ? Interprétation géométrique ?
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Exercice 2.
Appliquer la formule des accroissements finis à {f(x)=\arctan x} entre {0} et {h}.
Montrer qu’il existe un unique {\,\theta} tel que {f(h)=hf'(\,\theta h)}.
Calculer {\,\theta} et {\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\,\theta}.
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Exercice 3.
Soit {f:[a,+\infty[\rightarrow\mathbb{R}}, dérivable, telle que {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=\ell\in\mathbb{R}}.
Montrer que {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\ell}.
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Exercice 4.
Soit {f} une fonction deux fois dérivable sur {[x_0,x_0+2h]}.
Montrer qu’il existe {\,\theta} dans {]0,1[} tel que : {f(x_0+2h)-2f(x_0+h)+f(x_0)=h^2f''(x_0+2\,\theta h)}
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Exercice 5.
Soit {g\colon[0,1]\to\mathbb{R}} impaire et cinq fois dérivable.
Montrer que {\exists c\in\,]0,1[,\;g(1)=\dfrac13(g'(1)+2g'(0))-\dfrac1{180}g^{(5)}(c)}.
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