Rationnels et irrationnels

Exercice 1.
Simplifier le réel {x=\sqrt[3]{\sqrt5+2}-\sqrt[3]{\sqrt5-2}}.
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Exercice 2.
Montrer que {\sqrt[3]{1/9}-\sqrt[3]{2/9}+\sqrt[3]{4/9}=(\sqrt[3]{2}-1)^{1/3}}.
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Exercice 3.
On pose {x=\sqrt [3]{\dfrac23+\dfrac {41}{243}\,\sqrt {15}}+\sqrt [3]{\dfrac23-\dfrac {41}{243}\,\sqrt {15}}}.
Montrer que est un nombre rationnel.
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Exercice 4.
Soit {r} une rationnel de {[0,1[}.
Montrer que r s’écrit de manière unique : {r=\dfrac{a_2}{2!}+\dfrac{a_3}{3!}+\cdots+\dfrac{a_n}{n!}+\cdots}{0\le a_i\lt i} (et a_i=0 à partir d’un certain rang).
Mettre sous cette forme le rationnel {\dfrac 57}.
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