Primitivation par parties

Exercice 1.
En intégrant par parties, calculer {\displaystyle\int x^2\arctan x\,\text{d}x}
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On intègre par partie en intégrant {x^2} et en dérivant {\arctan x} : {\begin{array}{rl}\displaystyle\int x^2\arctan x\,\text{d}x&=\dfrac{x^3}3\arctan x-\displaystyle\int\dfrac{x^3\,\text{d}x}{3(1+x^2)}\\\\&=\dfrac{x^3}3\arctan x-\dfrac13\displaystyle\int\Bigl(x-\dfrac{x}{1+x^2}\Bigr)\,\text{d}x\\\\&=\dfrac{x^3}3\arctan x-\dfrac{x^2}6+\dfrac{\ln(x^2+1)}6+\lambda\end{array}}

Exercice 2.
En intégrant par parties, calculer {\displaystyle\int\cos\ln x\,\text{d}x}
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On intègre {1} et on dérive {\cos\ln x} : {\displaystyle\int\cos\ln x\,\text{d}x=x\cos\ln x+\displaystyle\int\sin\ln x\,\text{d}x}On recommence : {\displaystyle\int\sin\ln x\,\text{d}x=x\sin\ln x-\displaystyle\int\cos\ln x\,\text{d}x}On en déduit finalement :
{\displaystyle\int\cos\ln x\,\text{d}x=\dfrac{x}2\Bigl(\cos\ln x+\sin\ln x\Bigr)+\lambda}

Exercice 3.
En intégrant par parties, calculer {\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{\cos^4x}}
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On primitive par parties en intégrant {\dfrac1{\cos^2 x}} et en dérivant… {\dfrac1{\cos^2 x}} :{\begin{array}{rl}\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{\cos^4x}=&\dfrac{\tan x}{\cos^2x}-\displaystyle\int\tan x\Bigl(\dfrac{2\sin x}{\cos^3x}\Bigr)\,\text{d}x\\\\&=\dfrac{\sin x}{\cos^3x}-2\displaystyle\int\dfrac{\sin^2x}{\cos^4x}\,\text{d}x\\\\&=\dfrac{\sin x}{\cos^3x}-2\displaystyle\int\dfrac{1-\cos^2x}{\cos^4x}\,\text{d}x\\\\&=\dfrac{\sin x}{\cos^3x}-2\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{\cos^4x}+2\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{\cos^2x}\end{array}}On en déduit : {\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{\cos^4x}=\dfrac{\sin x}{3\cos^3x}+\dfrac23\tan x+\lambda}

Exercice 4.
En intégrant par parties, calculer {\displaystyle\int\text{e}^{\arcsin x}\,\text{d}x}
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On primitive {1} et on dérive {\text{e}^{\arcsin x}} : {\displaystyle\int\text{e}^{\arcsin x}\,\text{d}x=x\text{e}^{\arcsin x}-\displaystyle\int\dfrac{x\text{e}^{\arcsin x}}{\sqrt{1-x^2}}\,\text{d}x}Encore une primitivation par parties : {-\displaystyle\int\dfrac{x\text{e}^{\arcsin x}}{\sqrt{1-x^2}}\,\text{d}x=\sqrt{1-x^2}\text{e}^{\arcsin x}-\displaystyle\int\text{e}^{\arcsin x}\,\text{d}x}On en déduit finalement : {\text{e}^{\arcsin x}\,\text{d}x=\dfrac12(x+\sqrt{1-x^2})\text{e}^{\arcsin x}+\lambda}