Primitivation et changement de variable

Exercice 1.
Avec le changement de variable {t=x+\sin x}, calculer {\displaystyle\int\dfrac{\cos^2\frac x2}{x+\sin x}\,\text{d}x}
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Avec {t=x+\sin x}, on a {\,\text{d}t=(1+\cos x)\,\text{d}x=2\cos^2\dfrac x2\,\text{d}x}. Ainsi : {\begin{array}{rl}\displaystyle\int\dfrac{\cos^2\dfrac x2}{x+\sin x}\,\text{d}x&=\dfrac12\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}t}{t}\dfrac12\ln\left|{t}\right|+\lambda\\\\&=\dfrac12\ln\left|{x+\sin x}\right|+\lambda\end{array}}

Exercice 2.
Avec le changement de variable {t=\sqrt{x+1}}, calculer {\displaystyle\int\dfrac{x\,\text{d}x}{\sqrt{x+1}}}
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Avec {t=\sqrt{x+1}}, on a {x+1=t^2} et {\,\text{d}x=2t\,\text{d}t}. Ainsi : {\begin{array}{rl}\displaystyle\int\dfrac{x\,\text{d}x}{\sqrt{x+1}}&=\displaystyle\int\dfrac{2t(t^2-1)}{t}\,\text{d}t=\dfrac23t^3-2t+\lambda\\\\&=\dfrac23(x+1)^{3/2}-2\sqrt{x+1}+\lambda\end{array}}

Exercice 3.
Avec {t=\sin x-\cos x}, calculer {\displaystyle\int\dfrac{\sin x+\cos x}{2-\sin2x}\,\text{d}x}
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Avec {t=\sin x-\cos x}, on a {\begin{cases}\text{d}t=(\cos x+\sin x)\,\text{d}x\\ t^2=1-2\sin x\cos x=1-\sin2x\end{cases}} donc : {\begin{array}{rl}\displaystyle\int\dfrac{\sin x+\cos x}{2-\sin2x}\,\text{d}x&=\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}t}{1+t^2}\\\\&=\arctan t+\lambda=\arctan(\sin x-\cos x)+\lambda\end{array}}

Exercice 4.
Avec {t=\dfrac1x}, calculer {I=\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{x(x^n+1)}}
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Avec {t=\dfrac1x}, on trouve : {\begin{array}{rl}I&=\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{x(x^n+1)}=\displaystyle\int\dfrac{t}{t^{-n}+1}\Bigl(-\dfrac{\,\text{d}t}{t^2}\Bigr)=-\displaystyle\int\dfrac{t^{n-1}}{1+t^n}\,\text{d}t\end{array}}On pose ensuite {u=1+t^n}, donc {\,\text{d}u=nt^{n-1}\,\text{d}t} : {\begin{array}{rl}I&=-\dfrac1n\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}u}{u}=-\dfrac1n\ln\left|{u}\right|+\lambda\\\\&=-\dfrac1n\ln\left|{1+t^n}\right|+\lambda=-\dfrac1n\ln\left|{1+\dfrac1{x^n}}\right|+\lambda\end{array}}

Exercice 5.
Avec {t=\sqrt{\text{e}^x-1}}, calculer {\displaystyle\int\dfrac{\text{e}^x\,\text{d}x}{(3+\text{e}^x)\sqrt{\text{e}^x-1}}}
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Avec {t=\sqrt{\text{e}^x-1}}, on a {t^2=\text{e}^x-1} donc {2t\,\text{d}t=\text{e}^x\,\text{d}x}. Ainsi : {\begin{array}{rl}\displaystyle\int\dfrac{\text{e}^x\,\text{d}x}{(3+\text{e}^x)\sqrt{\text{e}^x-1}}&=\displaystyle\int\dfrac{2\,\text{d}t}{4+t^2}\\\\&=\arctan\dfrac{t}2+\lambda=\arctan\dfrac{\sqrt{\text{e}^x-1}}2+\lambda\end{array}}

Exercice 6.
Avec {t=x-\dfrac1x} (et {x>0}), calculer {\displaystyle\int\dfrac{x^2+1}{x\sqrt{x^4-x^2+1}}\,\text{d}x}
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Avec {t=x-\dfrac1x}, on a {\,\text{d}t=\Bigl(1+\dfrac1{x^2}\Bigr)\,\text{d}x=\dfrac{x^2+1}{x^2}\,\text{d}x}.

On a également : {t^2=x^2-2+\dfrac1{x^2}}. Ainsi : {\begin{array}{rl}I&=\displaystyle\int\dfrac{x^2+1}{x\sqrt{x^4-x^2+1}}\,\text{d}x=\displaystyle\int\dfrac{x\,\text{d}t}{\sqrt{x^4-x^2+1}}\\\\&=\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}t}{\sqrt{x^2-1+\dfrac1{x^2}}}=\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}t}{\sqrt{t^2+1}}\end{array}}On trouve donc : {\begin{array}{rl}I&=\ln(t+\sqrt{t^2+1})+\lambda\\\\&=\ln\Bigl(x-\dfrac1x+\sqrt{x^2-1+\dfrac1{x^2}}\Bigr)+\lambda\end{array}}Finalement, on obtient :{I=\ln\bigl(x^2-1+\sqrt{x^4-x^2+1}\bigr)-\ln x+\lambda}