Partie entière d’un réel (2/2)

Exercice 1.
Soient {p} et {q} dans {\mathbb{N}^*}, premiers entre eux.

Montrer que {\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{q-1}\left\lfloor k\dfrac{p}{q}\right\rfloor=\dfrac{(p-1)(q-1)}{2}}.

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Exercice 2.
Soient {x} un réel, et {n} un entier naturel non nul.

  1. Montrer que : {\forall k\in\mathbb{Z}n\;\left\lfloor \dfrac{x+k}n\right\rfloor=\left\lfloor \dfrac{\left\lfloor x\right\rfloor+k}n\right\rfloor}.
  2. Montrer que {\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor {\dfrac{x+k}n}\right\rfloor=\left\lfloor x\right\rfloor}.

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Exercice 3.
On note {\left\lceil x\right\rceil} le plus petit entier supérieur ou égal à {x}.
Montrer que {x\in\mathbb{R}^+\Rightarrow\left\lceil \sqrt{\left\lceil x\right\rceil}\right\rceil=\left\lceil \sqrt{x}\right\rceil}.
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Exercice 4.
Soit {f:x\mapsto x+\left\lfloor \sqrt{x}\right\rfloor}.
On pose {u_0=m\in\mathbb{N}} et {\forall\, n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=f(u_n)}.
Montrer que l’un au moins des {u_n} est le carré d’un entier.
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