Intégration de fonctions périodiques

Exercice 1.
Calculer l’intégrale {I=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^8x\,\text{d}x}
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On linéarise : {\begin{array}{rl}\cos^{8}(x)&=\Bigl(\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}2\Bigr)^8\\\\&=\dfrac1{128}\bigl(\cos 8x+8\cos 6x+28\cos 4x+56\cos 2x+35\bigr)\end{array}}D’autre part : {\forall\, k\in\mathbb{N}^*,\; \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos(2kx)\,\text{d}x=\left[\dfrac{\sin2kx}{2k}\right]_0^{\pi/2}=0}.

On en déduit : {I=\dfrac1{128}\,35\,\dfrac\pi2=\dfrac{35\pi}{256}}

Exercice 2.
Calculer l’intégrale {I=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\dfrac{\,\text{d}x}{a^2\cos^2x+\sin^2x}} (avec {a>0}).
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La fonction à intégrer est paire et {\pi}-périodique.

On peut donc écrire :
{\begin{array}{rl}I&=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\dfrac{\,\text{d}x}{a^2\cos^2x+\sin^2x}=\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac{\,\text{d}x}{a^2\cos^2x+\sin^2x}\\\\&=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{2\,\text{d}x}{a^2\cos^2x+\sin^2x}\end{array}}Ainsi {I=\displaystyle\lim_{\lambda\rightarrow(\pi/2)^{-}}J_{\lambda}}, où {J_{\lambda}=\displaystyle\int_{0}^{\lambda}\dfrac{2\,\text{d}x}{a^2\cos^2x+\sin^2x}}.

Le changement de variable {t=\tan x} applique {\bigl[0,\lambda\bigr[} sur {[0,\tan\lambda[}.

On a {\,\text{d}x=\dfrac{\,\text{d}t}{1+t^2}=\cos^2x\,\text{d}t}. On en déduit : {\begin{array}{rl}J_{\lambda}&=\displaystyle\int_{0}^{\tan\lambda}\dfrac{2\cos^2x\,\text{d}t}{a^2\cos^2x+\sin^2x}=\displaystyle\int_{0}^{\tan\lambda}\dfrac{2\,\text{d}t}{a^2+t^2}\\\\&=\Bigl[\dfrac2a\arctan\dfrac xa\Bigr]_0^{\tan\lambda}=\dfrac2a\arctan\dfrac{\tan\lambda}a\end{array}}On fait tendre {\lambda} vers {\dfrac{\pi}{2}} et on trouve {I=\dfrac\pi a}

Remarque : il y a une vérification très simple avec {a=1}.

Exercice 3.
Calculer l’intégrale {I=\displaystyle\int_{0}^{3\pi}\sin x\sin 2x\sin 3x\,\,\text{d}x}.
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La fonction {x\mapsto\varphi(x)=\sin x\sin 2x\sin 3x} est {\pi}-périodique. Ainsi : {\begin{array}{rl}I&=\displaystyle\int_{0}^{3\pi}\varphi(x)\,\text{d}x=3\displaystyle\int_{0}^{\pi}\varphi(x)\,\text{d}x=3\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\varphi(x)\,\text{d}x\end{array}}Or {\varphi} est impaire. Il en découle {I=0}.

Exercice 4.
Calculer {I=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\dfrac{\,\text{d}x}{1+3\cos^2x}} et {I'=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\dfrac{x\,\text{d}x}{1+3\cos^2x}}.
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La fonction {x\mapsto\dfrac1{1+3\cos^2x}} est continue sur {\mathbb{R}}, {\pi}-périodique et paire.

On en déduit : {\begin{array}{rl}I&=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\dfrac{\,\text{d}x}{1+3\cos^2x}=2\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac{\,\text{d}x}{1+3\cos^2x}\\\\&=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{4\,\text{d}x}{1+3\cos^2x}\end{array}}Ainsi {I=\displaystyle\lim_{\lambda\rightarrow(\pi/2)^{-}}J_{\lambda}}, où {J_{\lambda}=\displaystyle\int_{0}^{\lambda}\dfrac{4\,\text{d}x}{1+3\cos^2x}}.

Le changement de variable {t=\tan x}, applique {\bigl[0,\lambda\bigr[} sur {[0,\tan\lambda[}.

On a {\,\text{d}x=\dfrac{\,\text{d}t}{1+t^2}}, et {\cos^2x=\dfrac1{1+t^2}}.

Ainsi {J_{\lambda}=\displaystyle\int_{0}^{\tan\lambda}\dfrac{4\,\text{d}t}{4+t^2}=\Bigl[2\arctan\dfrac{t}2\Bigr]_0^{\tan\lambda}=2\arctan\dfrac{\tan\lambda}2}.

Quand {\lambda\to\dfrac{\pi}{2}}, on trouve {I=\pi}.

Pour calculer {I'}, on pose {t=2\pi-x} : {\begin{array}{rl}I'&=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\dfrac{x\,\text{d}x}{3+\cos^2x}\,\text{d}x=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\dfrac{2\pi-t}{3+\cos^2t}\,\text{d}t\\\\&=2\pi I-I'=2\pi^2-I'\end{array}}Ainsi {I'=\pi^2}.

Exercice 5.
Calculer {I_n=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{\sin(2n+1)t}{\sin t}\,\,\text{d}t} et {J_n=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{\sin^2 nt}{\sin^2 t}\,\,\text{d}t}
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Les fonctions à intégrer sont continues sur {\Bigl[0,\dfrac\pi2\Bigr]} (après prolongement en {0}).

Pour tout entier {n}, on a les égalités : {\begin{array}{rl}I_{n+1}-I_n&=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{\sin(2n+3)t-\sin(2n+1)t}{\sin t}\,\text{d}t\\\\&=2\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos(2n+2)t\,\text{d}t=\Bigl[\dfrac{\sin(2n+2)t}{n+1}\Bigr]_0^{\pi/2}=0\end{array}}Ainsi la suite {(I_n)} est constante.

Or {I_0=\dfrac\pi2}. Conclusion : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;I_n=\dfrac\pi2}.

Pour tout entier {n}, on a les égalités : {\begin{array}{rl}\sin^2(n+1)t-\sin^2nt&=\dfrac{1-\cos2(n+1)t}2-\dfrac{1-\cos2nt}2\\\\&=\dfrac12\bigl(\cos2nt-\cos2(n+1)t\bigr)\\\\&=\sin t\;\sin(2n+1)t\end{array}}On en déduit, pour tout n\in\mathbb{N} : {J_{n+1}-J_n=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{\sin(2n+1)t}{\sin t}\,\text{d}t=I_n=\dfrac\pi2}Il en découle : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;J_n=J_0+n\dfrac\pi2=n\dfrac\pi2}.