Inégalités dans ℝ (2/2)

Publié le 03/12/17

Exercice 1.
Soient {a,b,c,d} quatre nombres réels.
Montrer que {a^2+b^2+c^2+d^2\ge ab+bc+cd+da}.
Dans quel cas a-t-on l’égalité?
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Exercice 2.
Montrer que pour tous {a,b} de {\mathbb{N}^*} on a {\left|{\dfrac{a}{b}-\dfrac{1}{\sqrt2}}\right|>\dfrac{1}{4b^2}}.
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Exercice 3.
Soient {a,b,c} les cotés d’un triangle. Montrer que : {3(ab+bc+ca)\le (a+b+c)^2\le 4(ab+bc+ca)}
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Exercice 4.
Soit {x_1,x_2,\ldots,x_n} une famille de réels de {[0,1]}.
Prouver l’inégalité : {\displaystyle\prod_{k=1}^n(1-x_k)\ge1- \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_k}.
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Exercice 5.
On se donne {\begin{cases}a_1\ge a_2\ge\ldots\ge a_n\ge0\\b_1\ge b_2\ge\ldots\ge b_n\ge0\phantom{\Big)}\end{cases}}.

Prouver l’inégalité : {\begin{array}{l}(a_1+a_2+\cdots+a_n)(b_1+b_2+\cdots+b_n)\phantom{\Big)}\\\quad\le n(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)\end{array}}

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