Fonctions exponentielles (2/2)

Exercice 1.
Résoudre {2^{\sin^2x}=\cos x}.
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Pour tout {x} de {\mathbb{R}}, on a {2^{\sin^2x}=\text{e}^{(\ln 2)\sin^{2}x}\ge1}, et {\cos x\le 1}.

Ainsi {2^{\sin^2x}=\cos x\Leftrightarrow (2^{\sin^2x}=\cos x=1)\Leftrightarrow x\equiv 0~[2\pi]}.

Exercice 2.
Résoudre {4^x-3^{x-1/2}=3^{x+1/2}-2^{2x-1}}.
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On a les équivalences :{\begin{array}{l}4^x-3^{x-1/2}=3^{x+1/2}-2^{2x-1}\\\\\qquad\Leftrightarrow 4^{x}+2^{2x-1}=3^{x-1/2}+3^{x+1/2}\\\\\qquad\Leftrightarrow 4^{x}\Big(1+\dfrac12\Bigr)=3^{x}\Bigl(\dfrac1{\sqrt3}+\sqrt3\Bigr)\\\\\qquad\Leftrightarrow\Bigl(\dfrac43\Bigr)^{x}=\dfrac{8}{3\sqrt3}=\Bigl(\dfrac43\Bigr)^{3/2}\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\end{array}}

Exercice 3.
Soit {a,b} donnés dans {\mathbb{R}^{+*}}.
Résoudre {{(a^b)}^x=a^{(b^x)}}, puis {a^{(b^x)}=b^{(a^x)}}
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  1. Équation {(E)\ {(a^b)}^x=a^{(b^x)}} :

    Si {a=1}, tout {x\in\mathbb{R}} est solution. On suppose donc {a\ne 1}.

    Alors on les équivalences : {\begin{array}{rl}{(a^b)}^x=a^{(b^x)}&\Leftrightarrow a^{bx}=a^{(b^{x})}\Leftrightarrow bx=b^{x}\\\\&\Leftrightarrow \ln x+\ln b=x\ln b\\\\&\Leftrightarrow \ln x=(\ln b)(x-1)\end{array}}Remarquons que {x=1} est toujours solution.

    On cherche donc des solutions différentes de {1}.

    Soit {f} définie sur {\mathbb{R}^{+*}\setminus\{1\}} par {f(1)=\dfrac{\ln x}{x-1}}.

    On a alors {{(a^b)}^x=a^{(b^x)}\Leftrightarrow f(x)=\ln b}.

    On calcule la dérivée de f : {\begin{array}{rl}f'(x)&=\dfrac{1}{(x-1)^{2}}\Bigl(\dfrac{x-1}{x}-\ln x\Bigr)\\\\&=\dfrac{1}{(x-1)^{2}}\Bigl(1-\dfrac1x+\ln\dfrac1x\Bigr)\end{array}}On sait que {\ln t\le t-1} pour {t>0} (égalité en {t=1}).

    Ainsi {\ln\dfrac1x\lt \dfrac1x-1} (donc {f'(x)\lt 0}) pour tout {x\in\mathbb{R}^{+*}\setminus\{1\}}.

    {f} est donc strictement décroissante sur {]0,1[} et sur {]1,+\infty[}.

    Mais elle est prolongeable par continuité en {x=1} car {\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}f(x)=1}.

    Ainsi prolongée, {f} est strictement décroissante sur {\mathbb{R}^{+*}}.

    On note enfin que {\displaystyle\lim_{x\rightarrow0+}f(x)=+\infty} et {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0}.

    Ainsi {f} est une bijection de {\mathbb{R}^{+*}} sur lui-même (avec {f(1)=1}).

    Dans ces conditions, si {0\lt b\le 1}, l’équation {f(x)=\ln b} n’a pas de solution.

    Mais si {b>1}, l’équation {f(x)=\ln b} a une unique solution {x_{b}\in\mathbb{R}^{+*}}.

    Puisque {\begin{cases}f(1)=1\\ f(x_{b})=\ln b\end{cases}} (et {f} strictement décroissante), on a :

    • Si {0\lt b\lt \text{e}} (donc {\ln b\lt 1}) alors {x_{b}>1}.

    • Si {b=\text{e}} (donc {\ln b=1}) alors {x_{b}=1}.
    • Si {b>\text{e}} (donc {\ln b>1}) alors {0\lt x_{b}\lt 1}.

    On peut donc conclure pour {(E): {(a^b)}^x=a^{(b^x)}} (avec {a\ne 1})

    • Si {0\lt b\lt \text{e}}, {(E)} a deux solutions distinctes {1,x_{b}}, avec {x_{b}>1}.
    • Si {b=\text{e}}, {(E)} a la seule solution (double) {x=1}.
    • Si {b>\text{e}}, {(E)} a deux solutions distinctes {1,x_{b}}, avec {0\lt x_{b}\lt 1}.

    Remarque : tout ça était évident à graphiquement à partir de {\ln x=(\ln b)(x-1)}.

  2. Équation {(E)\ a^{(b^x)}=b^{(a^x)}}:

    On a {a^{(b^x)}=b^{(a^x)}\Leftrightarrow b^{x}\ln a=a^{x}\ln b}.

    Remarquons que si {a=b}, tout {x\in\mathbb{R}} est solution.

    On suppose donc {a\ne b}.

    Remarquons que si {(\ln a)(\ln b)\lt 0} alors {b^{x}\ln a=a^{x}\ln b} n’a pas de solution.

    On suppose donc {(a,b)\in\,]0,1[^{2}} ou {(a,b)\in\,]1,+\infty[^{2}}.

    On a alors les équivalences : {\begin{array}{rl}(E)&\Leftrightarrow \Bigl(\dfrac{b}{a}\Bigr)^{x}=\dfrac{\ln b}{\ln a}\\\\&\Leftrightarrow x(\ln b-\ln a)=\ln\left|{\ln b}\right|-\ln\left|{\ln a}\right|\\\\&\Leftrightarrow x=\dfrac{\ln\left|{\ln b}\right|-\ln\left|{\ln a}\right|}{\ln b-\ln a}\end{array}}

Exercice 4.
Résoudre le système {\begin{cases}3^x5^y=2^{2x+1}+2^{2x-1}\cr 3^y5^x=2^{2x+2}+2^{2x-2}\end{cases}}
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On trouve successivement : {\begin{array}{rl}(S)&:\begin{cases}3^x5^y=2^{2x+1}+2^{2x-1}\\3^y5^x=2^{2x+2}+2^{2x-2}\end{cases}\\\\&\Leftrightarrow\begin{cases}3^x5^y=2^{2x}\Bigl(2+\dfrac12\Bigr)=\dfrac{5}{2}\,4^{x}\phantom{\biggl(}\\3^y5^x=2^{2x}\Bigl(4+\dfrac14\Bigr)=\dfrac{17}{4}\,4^{x}\phantom{\biggl(}\end{cases}\\\\&\Leftrightarrow\begin{cases}x\ln3+y\ln5=x\ln4+\ln(5/2)\\ x\ln 5+y\ln 3=x\ln4+\ln(17/4)\end{cases}\\\\&\Leftrightarrow\begin{cases}x\ln(3/4)+y\ln5=\ln(5/2)\\ x\ln(5/4)+y\ln 3=\ln(17/4)\end{cases}\end{array}}C’est un système linéaire de deux équations à deux inconnues. On trouve :
{\begin{array}{rl}x&=\dfrac{\ln(17/4)\ln(5)-\ln(3)\ln(5/2)}{\ln(5/4)\ln(5)-\ln(3)\ln(3/4)}\\\\y&=\dfrac{\ln(5/2)\ln(5/4)-\ln(3/4)\ln(17/4)}{\ln(5/4)\ln(5)-\ln(3)\ln(3/4)}\end{array}}