Fonctions ch, sh, th (1/2)

Exercice 1.
Donner la valeur de {y=2\,\text{ch} x-\,\text{sh} x} pour {x=\dfrac12\ln3}.
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Avec {x=\ln\sqrt3}, on trouve : {\begin{array}{rl}y&=2\,\text{ch} x-\,\text{sh} x\\\\&=\text{e}^{x}+e^{-x}-\dfrac{\text{e}^{x}-e^{-x}}{2}\\\\&=\dfrac{\text{e}^{x}+3\text{e}^{-x}}{2}=\dfrac{\sqrt3+\sqrt3}{2}=\sqrt3\end{array}}

Exercice 2.
Exprimer l’expression y à l’aide de l’exponentielle: {y=\,\text{ch}^4x+\,\text{ch}^3x\,\,\text{sh} x+\,\text{ch} x\,\,\text{sh}^3x+\,\text{sh}^4x}
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On trouve successivement :
{\begin{array}{rl}y&=\,\text{ch}^4x+\,\text{ch}^3x\,\,\text{sh} x+\,\text{ch} x\,\,\text{sh}^3x+\,\text{sh}^4x\\\\&=\,\text{ch}^3x(\,\text{ch} x+\,\text{sh} x)+\,\text{sh}^{3}x(\,\text{ch} x+\,\text{sh} x)\\\\&=\text{e}^{x}(\,\text{ch}^{3}x+\,\text{sh}^{3}x)\\\\&=\text{e}^{x}(\,\text{ch} x+\,\text{sh} x)(\,\text{ch}^{2}x-\,\text{ch} x\,\text{sh} x+\,\text{sh}^{2}x)\\\\&=\text{e}^{2x}\Bigl(\,\text{ch}(2x)-\dfrac12\,\text{sh} 2x\Bigr)\\\\&=\dfrac14\text{e}^{2x}\Bigl(2(\text{e}^{2x}+\text{e}^{-2x})-(\text{e}^{2x}-\text{e}^{-2x})\Bigr)\\\\&=\dfrac14\text{e}^{2x}(\text{e}^{2x}+3\text{e}^{-2x})=\dfrac14(\text{e}^{4x}+3)\end{array}}

Exercice 3.
Montrer que pour, pour tous réels x,y : {\text{ch}^2x+\,\text{sh}^2y=\,\text{sh}^2x+\,\text{ch}^2y=\,\text{ch}(x+y)\,\,\text{ch}(x-y)}
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On trouve successivement : {\begin{array}{l}\text{ch}(x+y)\,\text{ch}(x-y)\\\\\quad=(\text{ch} x\,\text{ch} y+\,\text{sh} x\,\text{sh} y)(\,\text{ch} x\,\text{ch} y-\,\text{sh} x\,\text{sh} y)\\\\\quad=\text{ch}^{2} x\,\text{ch}^{2} y-\,\text{sh}^{2} x\,\text{sh}^{2} y\\\\\quad=\text{ch}^{2} x(1+\,\text{sh} ^{2}y)-(\,\text{ch}^{2}x-1)\,\text{sh}^{2}y\\\\\quad=\text{ch}^{2} x+\,\text{sh} ^{2}y\\\\\quad=(\text{sh}^{2} x+1)+(\text{ch} ^{2}y-1)=\text{sh}^{2} x+\text{ch} ^{2}y\end{array}}

Exercice 4.
Résoudre : {\text{sh} a+\,\text{sh}(a+x)+\,\text{sh}(a+2x)+\,\text{sh}(a+3x)=0}.
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Posons {f(x)=\,\text{sh} a+\,\text{sh}(a+x)+\,\text{sh}(a+2x)+\,\text{sh}(a+3x)}.

La fonction {f} est strictement croissante et {f\Bigl(-\dfrac{2a}{3}\Bigr)=0}.

La seule solution est donc {x=-\dfrac{2a}{3}}.

Cette méthode n’est pas aussi “parachutée” qu’on pourrait le croire: on a en effet cherché à équilibrer {a,a+x,a+2x,a+3x} sur {0} et on a utilisé pour cela l’imparité de la fonction {\text{sh}}.

Exercice 5.
Calculer le produit {P_n=\,\text{ch}\dfrac x2\cdot\,\text{ch}\dfrac x{2^2}\cdots\,\text{ch}\dfrac x{2^n}}.
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On peut poser {P_{0}=1} par convention.

On note que {P_{1}=\,\text{ch}\dfrac{x}{2}}.

Pour tout {n\ge1} : {P_n\,\text{sh}\dfrac{x}{2^{n}}=P_{n-1}\,\text{ch}\dfrac{x}{2^{n}}\,\text{sh}\dfrac{x}{2^{n}}=\dfrac12P_{n-1}\,\text{sh}\dfrac{x}{2^{n-1}}}

La suite {n\mapsto P_n\,\text{sh}\dfrac{x}{2^{n}}} est donc géométrique de raison {\dfrac{1}{2}}.

Ainsi : {\forall n\in\mathbb{N},\;P_{n}\,\text{sh}\dfrac{x}{2^{n}}=\dfrac{1}{2^{n}}P_{0}\,\text{sh} x}.

Il en résulte {P_{n}=\dfrac{\,\text{sh} x}{2^{n}\,\text{sh}\dfrac{x}{2^{n}}}}