Fonctions arccos et arcsin (4/4)

Exercice 1.
Étudier la fonction {x\mapsto f(x)=\arcsin\cos x+\arccos\sin x}.
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La fonction {x\mapsto f(x)} est continue sur {\mathbb{R}}, et {2\pi}-périodique.

Mais plus précisément :{\begin{array}{rl}f(x+\pi)&=\arcsin(-\cos x)+\arccos(-\sin x)\\\\&=\pi-\arcsin\cos x-\arccos\sin x\\\\&=\pi-f(x)\end{array}}On étudie donc {f} sur un intervalle de longueur {\pi}, par exemple {\Big[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big]}.

On remarque que :{f(x)=\arcsin\sin\Big(\dfrac\pi2-x\Big)+\arccos\cos\Big(\dfrac\pi2- x\Big)}On sait par ailleurs que :{\begin{cases}\arcsin\sin t=t\text{\ sur\ }\Big[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big]\phantom{\biggl(}\\\arccos\cos t=\left|{t}\right|\text{\ sur\ }[-\pi,\pi]\text{\ donc sur\ }\Big[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big]\phantom{\biggl(}\end{cases}}On en déduit : {\begin{array}{rl}x\in[0,\pi]&\Rightarrow\; \dfrac\pi2-x\in\Big[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big]\\\\&\Rightarrow f(x)=\dfrac\pi2-x+\left|{\dfrac\pi2-x}\right|\end{array}}Il en découle : {\begin{cases}\forall\, x\in\Big[0,\dfrac\pi2\Big],\;f(x)=\pi-2x\phantom{\biggl(}\\\forall\, x\in\Big[\dfrac\pi2,\pi\Big],\;f(x)=0\phantom{\biggl(}\end{cases}}

On peut alors compléter sur {[0,2\pi]} en notant que :

  • Si {x\in\Big[\pi,\dfrac{3\pi}2\Big]}, alors :{\begin{array}{rl}f(x)&=\pi-f(x-\pi)\\\\&=\pi-(\pi-2(x-\pi))=2(x-\pi)\end{array}}
  • Si {x\in\Big[\dfrac{3\pi}2,2\pi\Big]}, alors :{f(x)=\pi-f(x-\pi)=\pi}

Pour le reste, on complète par périodicité.

Voici la représentation graphique de {x\mapsto f(x)} :

Exercice 2.
Calculer la valeur exacte de {x=\sin\Big(\dfrac12\arcsin\dfrac13\Big)}.
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On trouve : {\begin{array}{rl}1-2x^2&=1-2\sin^2\Big(\dfrac12\arcsin\dfrac13\Big)\\\\&=\cos\Big(\arcsin\dfrac13\Big)=\sqrt{1-\dfrac19}\\\\&=\dfrac{2\sqrt2}{3}\end{array}}Il en découle : {x^2=\dfrac{3-2\sqrt2}{6}=\dfrac{(\sqrt2-1)^2}{6}}.

Ainsi : {x=\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt6}} car {x\ge0}.

Exercice 3.
Étudier la fonction {x\mapsto f(x)=\arccos\cos x+\dfrac12\arccos\cos{2x}}.
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La fonction {x\mapsto f(x)} est continue sur {\mathbb{R}}, {2\pi}-périodique et paire.

On sait que : {\begin{cases}\arccos\cos t=t\text{\ sur\ }[0,\pi]\\\arccos\cos t=2\pi-t\text{\ sur\ }[\pi,2\pi]\end{cases}}

Si {0\le x\le\dfrac\pi2} alors {\begin{cases}\arccos\cos x=x\\ \arccos\cos 2x=2x\end{cases}}

Si {\dfrac\pi2\le x\le\pi} alors {\begin{cases}\arccos\cos x=x\\ \arccos\cos 2x=2\pi-2x\end{cases}}

Ainsi {f(x)=2x} sur {\Big[0,\dfrac\pi2\Big]} et {f(x)=\pi} sur {\Big[\dfrac\pi2,\pi\Big]}.

On complète ensuite par parité et par périodicité.

Voici la représentation graphique de {f} :

Exercice 4.
Etudier la fonction :{x\mapsto f(x)=\arccos\cos x+\dfrac12\arccos\cos{2x}+\dfrac16\arccos\cos{3x}}
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La fonction {f} est continue sur {\mathbb{R}}, {2\pi}-périodique et paire.

On sait que {\begin{cases}\arccos\cos t=t\text{\ sur\ }[0,\pi]\\\arccos\cos t=2\pi-t\text{\ sur\ }[\pi,2\pi]\end{cases}}

De même {\arccos\cos t=t-2\pi} sur {[2\pi,3\pi]}. On en déduit :

  • Si {0\le x\le\dfrac\pi3} alors {\begin{cases}\arccos\cos x=x\\\arccos\cos2x=2x\\\arccos\cos3x=3x\end{cases}}

    Il en résulte : {f(x)=x+x+\dfrac{x}{2}=\dfrac{5x}2}.

  • Si {\dfrac\pi3\le x\le\dfrac\pi2} alors {\begin{cases}\arccos\cos x=x\\\arccos\cos2x=2x\\\arccos\cos3x=2\pi-3x\end{cases}}

    Il en résulte : {f(x)=x+x+\dfrac{2\pi-3x}{6}=\dfrac{3x}2+\dfrac\pi3}.

  • Si {\dfrac\pi2\le x\le\dfrac{2\pi}3}, alors {\begin{cases}\arccos\cos x=x\\\arccos\cos2x=2\pi-2x\\\arccos\cos3x=2\pi-3x\end{cases}}

    Il en résulte : {f(x)=x+(\pi-x)+\dfrac{2\pi-3x}{6}=-\dfrac{x}2+\dfrac{4\pi}{3}}.

  • Si {\dfrac{2\pi}{3}\le x\le\pi} alors {\begin{cases}\arccos\cos x=x\\\arccos\cos2x=2\pi-2x\\\arccos\cos3x=3x-2\pi\end{cases}}

    Il en résulte : {f(x)=x+(\pi-x)+\dfrac{3x-2\pi}{6}=\dfrac{x}2+\dfrac{2\pi}{3}}.

On complète ensuite par parité et par périodicité.

Voici la représentation graphique de {f} :