Fonctions arccos et arcsin (3/4)

Exercice 1.
Simplifier {y(x)=\arccos(1-2x^2)}.
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La fonction {y} est définie pour {\left|1-2x^2\right|\le1}, c’est-à-dire pour {\left|x\right|\le1}.

Remarquons que la fonction {y} est paire. On va donc l’étudier sur {[0,1]}.

Pour {0\le x\le 1}, posons {\,\theta=\arcsin x}. Alors : {\begin{array}{rl}y(x)&=\arccos(1-2\sin^2\,\theta)\\\\&=\arccos(\cos2\,\theta)=2\,\theta\text{\ car\ }2\,\theta\in[0,\pi]\end{array}}On a donc {y(x)=2\arcsin x} sur {[0,1]}.

Plus généralement :{y(x)=2\arcsin\left|{x}\right|=2\left|{\arcsin x}\right|\text{\ sur\ }[-1,1]}

Exercice 2.
Simplifier {y(x)=\arccos\dfrac{1-x^2}{1+x^2}}
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La quantité {y(x)} est définie pour {-1\le \dfrac{1-x^2}{1+x^2}\le1}.

Le domaine de définition de x\mapsto y(x)est donc {\mathbb{R}}.

Remarquons que {y} est paire : on va l’étudier sur {\mathbb{R}^+}.

Soit {x} un élément quelconque de {\mathbb{R}^+}.

Posons {x=\tan\,\theta}, où {0\le\,\theta\lt \dfrac\pi2}, donc {\theta=\arctan x}.

On a successivement : {\begin{array}{rl}y(x)&=\arccos\dfrac{1-x^2}{1+x^2}=\arccos\dfrac{1-\tan^2\,\theta}{1+\tan^2\,\theta}\\\\&=\arccos(\cos2\,\theta)=2\,\theta\text{\ car\ }2\theta\in[0,\pi]\end{array}}On a donc {y(x)=2\arctan x} sur {\mathbb{R}^+}.

Plus gérénalement : {y(x)=2\arctan\left|{x}\right|=2\left|{\arctan x}\right|} sur {\mathbb{R}}.

Exercice 3.
Simplifier {y(x)=\arcsin(3x-4x^3)}.
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On a les équivalences :{\begin{array}{l}-1\le3x-4x^3\le1\\\\\qquad\Leftrightarrow\begin{cases}4x^3-3x-1\le0\\ 4x^3-3x+1\ge0\end{cases}\\\\\qquad\Leftrightarrow\begin{cases}(x-1)(2x+1)^2\le0\\ (x+1)(2x-1)^2\ge0\end{cases}\\\\\qquad\Leftrightarrow x\in[-1,1]\end{array}}L’application {y} est donc définie sur {[-1,1]}, et elle est impaire.

Soit {x\in[0,1]}. On pose {\,\theta=\arcsin x}. On a alors :{\begin{array}{rl}y(x)&=\arcsin(3\sin\,\theta-4\sin^3\,\theta)\\\\&=\arcsin(\sin3\,\theta)\end{array}}Rappelons que :{\arcsin(\sin t)=\begin{cases}t\text{\ sur\ }\Big[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big]\phantom{\biggl(}\\\pi-t\text{\ sur\ }\Big[\dfrac\pi2,\dfrac{3\pi}{2}\Big]\phantom{\biggl(}\end{cases}}

On en déduit:

  • Si {0\le3\,\theta\le\dfrac\pi2} c’est-à-dire {0\le x\le\dfrac12} : {y(x)=3\,\theta=3\arcsin x}
  • Si {\dfrac\pi2\le3\,\theta\le\dfrac{3\pi}2} c’est-à-dire {\dfrac12\le x\le1} : {y(x)=\pi-3\,\theta=\pi- 3\arcsin x}

On peut conclure : {y(x)=\begin{cases}3\arcsin x&\text{sur\ }[-1/2,1/2]\\\pi- 3\arcsin x&\text{sur\ }[1/2,1]\\-\pi-3\arcsin x&\text{sur\ }[-1,-1/2]\end{cases}}

Exercice 4.
Étudier la fonction {x\mapsto f(x)=\arcsin\sqrt{\dfrac{1+\sin(2x)}2}}.
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La fonction {f} est définie et continue sur {\mathbb{R}}.

Elle est {\pi}-périodique. Posons x=t-\dfrac\pi4. Alors: {\begin{array}{rl}f(x)&=\arcsin\sqrt{\dfrac{1-\cos(2t)}{2}}\\\\&=\arcsin\left|{\sin t}\right|=\arcsin\left|{\sin\Bigl(x+\dfrac\pi4\Bigr)}\right|\end{array}}
On sait que {\arcsin\sin\left|{X}\right|=\left|{X}\right|} sur {[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2]}.

On en déduit que {f(x)=\Bigl|x+\dfrac\pi4\Bigr|} quand {-\dfrac{3\pi}4\le x\le\dfrac{\pi}4}.

Pour le reste, on complète par périodicité.

Voici la représentation graphique de {x\mapsto f(x)} :

Exercice 5.
Simplifier {y(x)=\arcsin\dfrac{2x}{1+x^2}}.
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La quantité {y(x)} est définie pour {-1\le \dfrac{2x}{1+x^2}\le1}.

Le domaine de définition de y est donc {\mathbb{R}}.

Remarquons que {y} est impaire. On va l’étudier sur {\mathbb{R}^+}.

Soit {x} un élément quelconque de {\mathbb{R}^+}.

Posons {\,\theta=\arctan x}. On a alors : {\begin{array}{rl}y(x)&=\arcsin\dfrac{2x}{1+x^2}\\\\&=\arcsin\dfrac{2\tan\,\theta}{1+\tan^2\,\theta}\\\\&=\arcsin(\sin2\,\theta)\end{array}}Rappelons que {\arcsin(\sin t)=\begin{cases}t&\text{sur\ }\Big[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Bigr]\\\pi-t&\text{sur\ }\Big[\dfrac\pi2,\dfrac{3\pi}{2}\Big]\end{cases}}.
On en déduit:

  • Si {0\le2\,\theta\le\dfrac\pi2} c’est-à-dire {0\le x\le 1} :{y(x)=2\,\theta=2\arctan x}
  • Si {\dfrac\pi2\le2\,\theta\lt \pi} c’est-à-dire {1\le x} :{y(x)=\pi-2\,\theta=\pi-2\arctan x}

On peut donc conclure. On a :{y(x)=\begin{cases}2\arctan x&\text{pour\ }x\in[-1,1]\\\pi-2\arctan x&\text{pour\ }x\ge1\\-\pi-2\arctan x&\text{pour\ }x\le-1\end{cases}}

Remarque: on peut résumer cette définition en écrivant :{y(x)=\begin{cases}2\arctan x&\text{si\ }x\in[-1,1]\\2\arctan \dfrac1x&\text{pour\ }\left|{x}\right|\ge1\end{cases}}

Voici la représentation graphique de {x\mapsto y(x)} :