Fonctions arccos et arcsin (2/4)

Exercice 1.
Résoudre l’équation {(E):\ \arcsin x+\arcsin\dfrac x2=\dfrac{\pi}{3}}.
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La fonction {\varphi:x\mapsto \arcsin x+\arcsin\dfrac x2} est définie sur {I=[-1,1]}.

Ell y est strictement croissante donc injective.

Or {\varphi(1)=\arcsin1+\arcsin\dfrac12=\dfrac\pi2+\dfrac\pi6=\dfrac{2\pi}{3}}.

La seule solution de {(E)} est donc {x=1}.

Exercice 2.
Soient {x,y,z} dans {[0,1]}.
Déterminer une CNS sur {x,y,z} pour que :{(E):\ \arccos x+\arccos y+\arccos z=\pi}
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  • L’égalité {(E)} équivaut à : {\arccos x+\arccos y=\arccos(-z)}Si cette dernière égalité est réalisée, alors : {\begin{array}{rl}-z&=\cos(\arccos x+\arccos y)\\\\&=xy-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\end{array}}Il en découle {(xy+z)^2=(1-x^2)(1-y^2)}.

    En d’autres termes : {x^2+y^2+z^2+2xyz=1}.

  • Réciproquement, supposons {x^2+y^2+z^2+2xyz=1}.

    Alors : {(z+xy)^2=(1-x^2)(1-y^2)}.

    Cela équivaut à {\begin{cases}z+xy-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}=0\\\text{ou\ }z+xy+\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}=0\end{cases}}

    Posons {\begin{cases}x=\cos a\\ y=\cos b\\ z=\cos c\end{cases}} avec {a,b,c} dans {\Big[0,\dfrac\pi2\Big]}.

    Les deux éventualités s’écrivent {\begin{cases}\cos c+\cos(a+b)=0\\\text{ou\ }\cos c+\cos(a-b)=0\end{cases}}

    Cela équivaut à {\begin{cases}\cos(a+b)=\cos(\pi-c)\\\text{\ ou\ }\cos(a-b)=\cos(\pi-c)\end{cases}}

    Cela équivaut à l’une des quatre possibilités :
    {\begin{cases}1:\ a+b\equiv\pi-c\ (2\pi)\\2:\ a+b\equiv c-\pi\ (2\pi)\end{cases}\text{\ ou\ }\begin{cases}3:\ a-b\equiv\pi-c\ (2\pi)\\4:\ a-b\equiv c-\pi\ (2\pi)\end{cases}}On peut écrire ces conditions sous les formes équivalentes :
    {\begin{cases}1:\ a+b+c\equiv\pi\ (2\pi)\\2:\ a+b-c\equiv \pi\ (2\pi)\end{cases}\text{\ ou\ }\begin{cases}3:\ a-b+c\equiv\pi\ (2\pi)\\4:\ a-b-c\equiv \pi\ (2\pi)\end{cases}}On a {(a,b,c)\in\Big[0,\dfrac\pi2\Big]^3} donc {a+b+c\in\Big[0,\dfrac{3\pi}{2}\Big]}.

    Ainsi {a+b+c\equiv\pi (2\pi)} équivaut à {a+b+c=\pi}.

    De plus {(a,b,c)\in\Big[0,\dfrac\pi2\Big]^3\Rightarrow a+b-c\in\Big[-\dfrac\pi2,\pi\Big]}.

    Ainsi {a+b-c\equiv \pi\ (2\pi)\;\Leftrightarrow (a,b,c)=\Big(\dfrac\pi2,\dfrac\pi2,0\Big)}

    Cette dernière condition est “absorbée” par {a+b+c=\pi}. De même les conditions 3,4 sont contenues dans la condition 1 équivalente à {a+b+c=\pi}.

    Finalement, on a nécessairement {\arccos x+\arccos y+\arccos z=\pi}.

  • Conclusion : pour tous {x,y,z} de {[0,1]}, on a l’équivalence : {\begin{array}{l}\arccos x+\arccos y+\arccos z=\pi\\\\\qquad\Leftrightarrow\;x^2+y^2+z^2+2xyz=1\end{array}}

Exercice 3.
On se donne {a>b\ge 1}. Résoudre l’équation : {(E):\ \arccos\dfrac ax-\arccos\dfrac bx=\arccos\dfrac1b-\arccos\dfrac1a}
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Les conditions {a\ge1,b\ge1} assurent l’existence du second membre.

Le premier membre est défini si {\left|{x}\right|\ge b}.

Soit {x} une solution de l’équation. On a donc :{\arccos\dfrac ax+\arccos\dfrac1a=\arccos\dfrac bx+\arccos\dfrac1b}On prend le cosinus de chaque membre et on en déduit : {x-\sqrt{1-\dfrac{a^2}{x^2}}\sqrt{1-\dfrac{1}{a^2}}=x-\sqrt{1-\dfrac{b^2}{x^2}}\sqrt{1-\dfrac{1}{b^2}}}Ainsi {\Bigl(1-\dfrac{a^2}{x^2}\Bigr)\Bigl(1-\dfrac{1}{a^2}\Bigr)=\Bigl(1-\dfrac{b^2}{x^2}\Bigr)\Bigl(1-\dfrac{1}{b^2}\Bigr)}.

Cela s’écrit {\dfrac{a^2}{x^2}+\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{b^2}{x^2}+\dfrac{1}{b^2}}.

Cela équivaut à {x^2=a^2b^2} donc {x\in\{-ab,ab\}}.

Réciproquement, {x=ab} est solution évidente de l’équation.

Mais {x=-ab} n’est pas solution. En effet : {\begin{array}{rl}\arccos\dfrac ax-\arccos\dfrac bx&=\arccos\bigl(\dfrac{-1}{b}\bigr)-\arccos\bigl(\dfrac{-1}{a}\bigr)\\\\&=\Bigl(\pi-\arccos\dfrac1b\Bigr)-\Bigl(\pi-\arccos\dfrac1a\Bigr)\\\\&=\arccos\dfrac1a-\arccos\dfrac1b\end{array}}Conclusion : la seule solution de (E) est {x=ab}.

Exercice 4.
Résoudre {(E):\ \arcsin\dfrac45+\arcsin\dfrac5{13}=\arcsin x}.
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Supposons qu’un réel {x} soit solution de (E). Alors {\begin{array}{rl}x&=\sin\Bigl(\arcsin\dfrac45+\arcsin\dfrac5{13}\Bigr)\\\\&=\dfrac45\sqrt{1-\dfrac{25}{169}}+\dfrac5{13}\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}\\\\&=\dfrac45\cdot\dfrac{12}{13}+\dfrac5{13}\cdot\dfrac35=\dfrac{63}{65}\end{array}}Réciproquement, on a les implications : {\begin{array}{l}0\le\dfrac45\le\dfrac{\sqrt3}{2}\Rightarrow0\le\arcsin\dfrac45\le\dfrac\pi3\\\\0\le\dfrac{5}{13}\le\dfrac12\Rightarrow0\le\arcsin\dfrac5{13}\le\dfrac\pi6\end{array}}
Ainsi {\arcsin\dfrac45+\arcsin\dfrac5{13}\in\Big[0,\dfrac\pi2\Big]} et son sinus vaut {\dfrac{63}{65}}.

Donc {\arcsin\dfrac45+\arcsin\dfrac5{13}=\arcsin \dfrac{65}{13}}.

Conclusion : {x=\dfrac{63}{65}} est la seule solution de l’équation (E).

Exercice 5.
Résoudre {(E):\ \arcsin2x-\arcsin{x\sqrt3}=\arcsin x}.
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Le domaine est {x\in \Big[-\dfrac12,\dfrac12\Big]}, et {x=0} est solution évidente.

Par imparité, on cherche les solutions dans {\Big]0,\dfrac12\Big]}.

Si {x} est l’une d’elles : {\begin{cases}\arcsin2x-\arcsin x\sqrt3\in \Big[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big]\\\arcsin x\in [0,\dfrac\pi2]\end{cases}}

Ces deux membres sont donc égaux si et seulement s’ils ont le même sinus.

Ainsi, pour tout {x} de {\Big]0,\dfrac12\Big]} : {\begin{array}{l}\arcsin x=\arcsin2x-\arcsin{x\sqrt3}\\\\\quad\Leftrightarrow\ x=\sin(\arcsin2x-\arcsin{x\sqrt3})\\\\\quad\Leftrightarrow\ x=2x\sqrt{1-3x^2}-x\sqrt3\sqrt{1-4x^2}\\\\\quad\Leftrightarrow\ 1+\sqrt{3}\sqrt{1-4x^2}=2\sqrt{1-3x^2}\\\\\quad\Leftrightarrow\ 1+3(1-4x^2)+2\sqrt{3}\sqrt{1-4x^2}=4(1-3x^2)\\\\\quad\Leftrightarrow x=\dfrac12\end{array}}Conclusion : les solutions de (E) sont {x=-\dfrac12}, {x=0} et {x=\dfrac12}.