Fonctions arccos et arcsin (1/4)

Exercice 1.
Vérifier l’égalité : {2\arccos\dfrac34=\arccos\dfrac18}.
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Posons {a=2\arccos\dfrac34} et {b=\arccos\dfrac18}. On trouve : {\begin{array}{rl}\cos a&=2\cos^2\Bigl(\arccos\dfrac34\Bigr)-1\\\\&=2\Bigl(\dfrac34\Bigr)^2-1=\dfrac18=\cos b\end{array}}D’autre part, on a les implications : {\begin{array}{rl}0\le\dfrac34\le1&\Rightarrow 0\le \arccos\dfrac34\le\dfrac\pi2\\\\&\Rightarrow 0\le a\le\pi\end{array}}De même, on a : {0\le b\le\pi}.

Dans ces conditions, l’égalité {\cos a=\cos b} implique {a=b}.

Exercice 2.
Vérifier : {\arccos\dfrac57+\arccos\dfrac79=\arccos\dfrac{35-16\sqrt3}{63}}.
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Posons {a=\arccos\dfrac57}, {b=\arccos\dfrac79}.

Posons {c=\arccos\dfrac{35-16\sqrt3}{63}}. On trouve : {\begin{array}{rl}\cos(a+b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b\\\\&=\dfrac57\cdot\dfrac79-\sqrt{1-\bigl(\dfrac57\bigr)^2}\sqrt{1-\bigl(\dfrac79\bigr)^2}\end{array}}On en déduit : {\begin{array}{rl}\cos(a+b)&=\dfrac{35}{63}-\dfrac1{63}\sqrt{24\cdot 32}\\\\&=\dfrac{35-16\sqrt3}{63}=\cos c\end{array}}D’autre part {0\le\dfrac57\le1\Rightarrow 0\le \arccos\dfrac57\le\dfrac\pi2}.

De même {0\le\arccos\dfrac79\le\dfrac\pi2}.

Donc {0\le a+b\le\pi}, et on a bien sûr {0\le c\le\pi}.

Ainsi {\cos(a+b)=\cos c\Rightarrow a+b=c}, ce qu’il fallait démontrer.

Exercice 3.
Vérifier l’égalité : {\arcsin\dfrac5{13}+\arcsin\dfrac35=\arcsin\dfrac{56}{65}}.
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Posons {a=\arcsin\dfrac5{13}}, {b=\arcsin\dfrac35} et {c=\arcsin\dfrac{56}{65}}.

On a l’égalité : {\begin{array}{rl}\sin(a+b)&=\sin a\,\cos b+\sin b\,\cos a\\\\&=\dfrac5{13}\sqrt{1-\bigl(\dfrac35\bigr)^2}+\dfrac35\sqrt{1-\bigl(\dfrac5{13}\bigr)^2}\end{array}}On en déduit :{\begin{array}{rl}\sin(a+b)&=\dfrac5{13}\cdot\dfrac{4}{5}+\dfrac35\cdot\dfrac{12}{13}\\\\&=\dfrac{4}{13}+\dfrac{36}{65}=\dfrac{56}{65}=\sin c\end{array}}On a {0\le\dfrac{5}{13}\le\dfrac12} donc {0\le a\le\dfrac\pi6}.

De même {0\le\dfrac3{5}\le\dfrac{\sqrt3}2} donc {0\le b\le\dfrac\pi3}.

Donc {0\le a+b\le\dfrac\pi2}, et on a bien sûr {0\le c\le\dfrac\pi2}.

Ainsi {\sin(a+b)=\sin c\Rightarrow a+b=c}, ce qu’il fallait démontrer.

Exercice 4.
Vérifier : {\arcsin\dfrac45+\arcsin\dfrac5{13}+\arcsin\dfrac{16}{65}=\dfrac\pi2}.
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L’égalité à démontrer équivaut à :{\begin{array}{l}\arcsin\dfrac45+\arcsin\dfrac5{13}=\\\\\qquad\dfrac\pi2-\arcsin\dfrac{16}{65}=\arccos\dfrac{16}{65}\end{array}}Posons {a=\arcsin\dfrac4{5}}, {b=\arcsin\dfrac5{13}} et {c=\arccos\dfrac{16}{65}}.

On a l’égalité : {\begin{array}{rl}\sin(a+b)&=\sin a\,\cos b+\sin b\,\cos a\\\\&=\dfrac4{5}\sqrt{1-\Bigl(\dfrac5{13}\Bigr)^2}+\dfrac5{13}\sqrt{1-\Bigl(\dfrac4{5}\Bigr)^2}\end{array}}On en déduit {\sin(a+b)=\dfrac4{5}\cdot\dfrac{12}{13}+\dfrac5{13}\cdot\dfrac35=\dfrac{63}{65}}Or {\sin c=\sqrt{1-\bigl(\dfrac{16}{65}\bigr)^2}=\dfrac{63}{65}}.

On a : {0\le\dfrac45\le\dfrac{\sqrt3}{2}} donc {0\le a\le\dfrac\pi3}.

De même {0\le\dfrac{5}{13}\le\dfrac{1}{2}} donc {0\le b\le\dfrac\pi6}.

Donc {0\le a+b\le\dfrac\pi2}, et bien sûr {0\le c\le\dfrac\pi2}.

Ainsi {\sin(a+b)=\sin c\Rightarrow a+b=c}, ce qu’il fallait démontrer.

Exercice 5.
Vérifier l’égalité : {\arccos\dfrac9{\sqrt{82}}+\arcsin\dfrac4{\sqrt{41}}=\dfrac\pi4}.
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Posons {a=\arccos\dfrac9{\sqrt{82}}} et {b=\arcsin\dfrac4{\sqrt{41}}}. On a :{\begin{array}{rl}\cos(a+b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b\\\\&=\dfrac9{\sqrt{82}}\sqrt{1-\dfrac{16}{41}}-\dfrac4{\sqrt{41}}\sqrt{1-\dfrac{81}{82}}\end{array}}Il en résulte :{\begin{array}{rl}\cos(a+b)&=\dfrac9{\sqrt{82}}\cdot\dfrac{5}{\sqrt{41}}-\dfrac4{\sqrt{41}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{82}}\\\\&=\dfrac1{\sqrt2}=\cos\dfrac\pi4\end{array}}On a {\dfrac{\sqrt3}2\le\dfrac9{\sqrt{82}}\le1} donc {0\le a\le\dfrac\pi6}.

On a {0\le\dfrac4{\sqrt{41}}\le\dfrac{\sqrt3}2} donc {0\le b\le\dfrac\pi3}.

Ainsi {0\le a+b\le\dfrac\pi2}. De plus {\cos(a+b)=\dfrac{\sqrt2}{2}}.

On en déduit {a+b=\dfrac\pi4}, ce qu’il fallait démontrer.