Fonction Arctan (2/2)

Exercice 1.
Vérifier que : {\dfrac\pi4=3\arctan\dfrac14+\arctan\dfrac1{20}+\arctan\dfrac1{1985}}
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Posons : {a=\arctan\dfrac14,\ b=\arctan\dfrac1{20},\ c=\arctan\dfrac1{1985}}.

On a d’abord : {\tan2a=\dfrac{\dfrac12}{1-\dfrac1{16}}=\dfrac{8}{15}}.

On a ensuite : {\tan3a=\dfrac{\dfrac14+\dfrac{8}{15}}{1-\dfrac14\cdot\dfrac{8}{15}}=\dfrac{47}{52}}.

Enfin : {\tan\Big(\dfrac\pi4-3a\Big)=\dfrac{1-\dfrac{47}{52}}{1+\dfrac{47}{52}}=\dfrac5{99}}

On trouve par ailleurs : {\tan(b+c)=\dfrac{\dfrac1{20}+\dfrac1{1985}}{1-\dfrac1{20}\cdot\dfrac1{1985}}=\dfrac5{99}=\tan\Big(\dfrac\pi4-3a\Big)}On en déduit {3a+b+c\equiv\dfrac\pi4\ (\pi)}.

Mais on a les inégalités : {\begin{array}{rl}0&\lt 3a+b+c=3\arctan\dfrac14+\arctan\dfrac1{20}+\arctan\dfrac1{1985}\\\\&\lt\dfrac34+\dfrac1{20}+\dfrac1{1985}=\dfrac{1589}{1985}\lt \dfrac\pi2\end{array}}Le réel {x=3a+b+c} vérifie {0\lt x\lt \dfrac\pi2} et {\tan x=1}.

Ainsi {x=\dfrac\pi4}, ce qu’il fallait démontrer.

Exercice 2.
Simplifier l’expression {y(x)=\arctan\sqrt{\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}}}
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Le domaine de {x\mapsto y(x)} est {\mathbb{R}\setminus\{\pi+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\}}.

Sur ce domaine, cette fonction est continue, {2\pi}-périodique, paire.

Il suffit donc d’étudier {x\mapsto y(x)} sur {[0,\pi[}.

Posons {x=2t} avec {t\in\Big[0,\dfrac\pi2\Big[}. On a : {\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}=\dfrac{1-\cos2t}{1+\cos2t}=\dfrac{2\sin^2t}{2\cos^2t}=\tan^2t}Puisque {0\le t\lt \dfrac\pi2}, il en résulte : {\forall x\in[0,\pi[,\;y(x)=\arctan\tan t=t=\dfrac{x}{2}}Finalement {y(x)=\dfrac{\left|{x}\right|}{2}} sur {]-\pi,\pi[} et on complète par périodicité.

Remarque : en {x=\pi+2k\pi}, on prolonge par continuité en posant {y(x)=\dfrac\pi2}.

Exercice 3.
Simplifier l’expression {y(x)=\arctan\dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}}.
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La fonction {x\mapsto y(x)} est continue sur {\mathbb{R}^*} et impaire.

On choisit {x\ne0} et on pose {\,\theta=\dfrac12\arctan x}.

On trouve alors successivement : {\begin{array}{rl}\dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}&=\dfrac{\dfrac1{\cos2\,\theta}-1}{\tan2\,\theta}=\dfrac{1-\cos2\,\theta}{\sin2\,\theta}\\\\&=\dfrac{2\sin^2\,\theta}{2\sin\,\theta\cos\,\theta}=\tan\,\theta\end{array}}Il en résulte {y(x)=\arctan\tan\,\theta=\,\theta=\dfrac12\arctan x}.

Conclusion : {\forall x\ne0,\;y(x)=\dfrac12\arctan x}.

On peut prolonger par continuité en posant {y(0)=0}.

Exercice 4.
Simplifier l’expression {y(x)=\arctan(\sqrt{1+x^2}-x)}.
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La fonction {x\mapsto y(x)} est définie et continue sur {\mathbb{R}}.

Posons {x=\tan\,\theta} avec {-\dfrac\pi2\lt \,\theta\lt \dfrac\pi2} donc {\,\theta=\arctan x}.

On a : {y(x)=\arctan\Bigl(\dfrac1{\cos\,\theta}-\tan\,\theta\Bigr)=\arctan\dfrac{1-\sin\,\theta}{\cos\,\theta}}.

Posons {\varphi=\dfrac\pi4-\dfrac\,\theta2}, qui est dans {\Big]0,\dfrac\pi2\Big[}.

On a alors successivement : {\begin{array}{rl}y(x)&=\arctan\dfrac{1-\cos2\varphi}{\sin2\varphi}=\arctan\dfrac{\sin^2\varphi}{2\sin\varphi\cos\varphi}\\\\&=\arctan\tan\varphi=\varphi=\dfrac\pi4-\dfrac12\arctan x\end{array}}Conclusion : pour tout {x\in\mathbb{R}}, on a {y(x)=\dfrac\pi4-\dfrac12\arctan x}.

Exercice 5.
Étudier {f(x)=\arctan\dfrac{x}{x\!+\!1}+\arctan\dfrac{x}{x\!-\!1}+\arctan(2x^2)}
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La fonction {f} est dérivable sur {{\mathcal D}=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}}.

Pour tout {x} de {{\mathcal D}}, on a : {\begin{array}{rl}f'(x)&=\dfrac{\dfrac1{(x+1)^2}}{1+\dfrac{x^2}{(x+1)^2}}+\dfrac{\dfrac{-1}{(x-1)^2}}{1+\dfrac{x^2}{(x-1)^2}}+\dfrac{4x}{1+4x^4}\\\\&=\dfrac{1}{2x^2+1+2x}-\dfrac{1}{2x^2+1-2x}+\dfrac{4x}{1+4x^4}\end{array}}On trouve donc finalement, et de façon un peu surprenante : {f'(x)=\dfrac{-4x}{1+4x^4}+\dfrac{4x}{1+4x^4}=0}Ainsi {f} est constante sur chaque intervalle de {{\mathcal D}}.

Elle est donc constante sur {]-\infty,-1[}, {]-1,1[} et {]1,+\infty[}.

Mais {\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\dfrac\pi4+\dfrac\pi4+\dfrac\pi2=\pi}, et {f(0)=0}.

On en déduit que {f(x)=\begin{cases}=0&\text{si\ }\left|{x}\right|\lt 1\\=\pi&\text{si\ }\left|{x}\right|>1\end{cases}}