Fonction Arctan (1/2)

Exercice 1.
Vérifier l’égalité : {2\arctan\dfrac12=\arctan\dfrac43}.
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Avec {a=\arctan\dfrac12} et {b=\arctan\dfrac43}, on a : {\tan 2a=\dfrac{2\tan a}{1-\tan^2a}=\dfrac{1}{1-\dfrac14}=\dfrac43=\tan b}Or {0\lt \dfrac12\lt 1\Rightarrow0\lt a\lt \dfrac\pi4\Rightarrow 0\lt 2a\lt \dfrac\pi2}.

Bien sûr, on a aussi {0\lt b\lt \dfrac\pi2}.

Dans ces conditions : {\tan 2a=\tan b\Rightarrow 2a=b}.

On a donc obtenu : {2\arctan\dfrac12=\arctan\dfrac43}.

Exercice 2.
Vérifier que : {\dfrac\pi4=\arctan\dfrac12+\arctan\dfrac15+\arctan\dfrac18}.
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Posons {a=\dfrac\pi4-\arctan\dfrac12}, et {b=\arctan\dfrac15+\arctan\dfrac18}.

On a {\tan a=\dfrac{1-\dfrac12}{1+\dfrac12}=\dfrac13}.

D’autre part {\tan b=\dfrac{\dfrac15+\dfrac18}{1-\dfrac15\cdot\dfrac18}=\dfrac{13}{39}=\dfrac13=\tan a}.

Enfin les réels {\arctan\dfrac12}, {\arctan\dfrac15}, {\arctan\dfrac18} sont dans {\Big]0,\dfrac\pi4\Big[}.

Ainsi {a} et {b} sont dans {\Big]0,\dfrac\pi2\Big[}.

Ainsi {\tan a=\tan b\Rightarrow a=b}, ce qu’il fallait démontrer.

Exercice 3.
Vérifier l’égalité : {\dfrac\pi4=2\arctan\dfrac15+\arctan\dfrac17+2\arctan\dfrac18}.
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Posons {a=\dfrac\pi4-2\arctan\dfrac15} et {b=\arctan\dfrac17+2\arctan\dfrac18}.

On a d’abord {\tan\Big(2\arctan\dfrac15\Big)=\dfrac{2\cdot\dfrac15}{1-\dfrac{1}{25}}=\dfrac{5}{12}}.

On a également {\tan a=\dfrac{1-\dfrac{5}{12}}{1+\dfrac{5}{12}}=\dfrac{7}{17}}.

De même : {\tan\Big(2\arctan\dfrac18\Big)=\dfrac{2\cdot\dfrac18}{1-\dfrac1{64}}=\dfrac{16}{63}}.

Ensuite : {\tan b=\dfrac{\dfrac17+\dfrac{16}{63}}{1-\dfrac17\cdot\dfrac{16}{63}}=\dfrac{175}{425}=\dfrac{7}{17}}.

On a les inégalités : {0\lt \dfrac18\lt \dfrac17\lt \dfrac15\lt \dfrac{1}{\sqrt3}}.

On en déduit : {0\lt \arctan\dfrac18\lt \arctan\dfrac17\lt \arctan\dfrac15\lt \dfrac{\pi}{6}}.

On en déduit {-\dfrac\pi{12}\lt a\lt \dfrac\pi4} et {0\lt b\lt \dfrac\pi2}.

Donc {a,b} sont dans {\Bigl]-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Bigr[}.

Avec cet encadrement et {\tan a=\tan b}, on en déduit {a=b} (cqfd).

Exercice 4.
Vérifier l’égalité : {\dfrac\pi4=5\arctan\dfrac17+2\arctan\dfrac3{79}}.
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Posons respectivement {a=\arctan\dfrac17} et {b=\arctan\dfrac3{79}}.

On a {\tan2a=\dfrac{\dfrac27}{1-\dfrac1{49}}=\dfrac7{24}}, puis {\tan4a=\dfrac{\dfrac{7}{12}}{1-\dfrac{49}{576}}=\dfrac{336}{527}}.

Enfin {\tan5a=\dfrac{\dfrac17+\dfrac{336}{527}}{1-\dfrac17\cdot\dfrac{336}{527}}=\dfrac{2879}{3353}}.

On a aussi {\tan2b=\dfrac{\dfrac6{79}}{1-\dfrac9{6241}}=\dfrac{237}{3116}}.

Ainsi {\tan\Big(\dfrac\pi4-2b\Big)=\dfrac{1-\dfrac{237}{3116}}{1+\dfrac{237}{3116}}=\dfrac{2879}{3353}}.

On a {0\lt \tan x\lt x} sur {\mathbb{R}^{+*}}. On en déduit : {\begin{array}{c}0\lt 5a\lt \dfrac{5}{7}\lt \dfrac\pi2\\\\0\lt \dfrac\pi4-\dfrac6{79}\lt \dfrac\pi4-2b\lt \dfrac\pi2\end{array}}Donc {5a} et {\dfrac\pi4-2b} sont dans {\Big]0,\dfrac\pi2\Big[} et ont même tangente.

On en déduit {\dfrac\pi4=5a+2b}, c’est-à-dire : {\dfrac\pi4=5\arctan\dfrac17+2\arctan\dfrac3{79}}

Exercice 5.
Vérifier : {\dfrac\pi4=4\arctan\dfrac15-2\arctan\dfrac1{408}+\arctan\dfrac1{1393}}
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Posons {a=\arctan\dfrac15}, {b=\arctan\dfrac1{408}} et {c=\arctan\dfrac1{1393}}.

On a {\tan2a=\dfrac{\dfrac25}{1-\dfrac1{25}}=\dfrac{5}{12}} puis {\tan 4a=\dfrac{\dfrac56}{1-\dfrac{25}{144}}=\dfrac{120}{119}}.

D’autre part : {\tan2b=\dfrac{\dfrac2{408}}{1-\dfrac1{408^2}}=\dfrac{816}{166463}}.

De même : {\tan(c-2b)=\dfrac{\dfrac{1}{1393}-\dfrac{816}{166463}}{1+\dfrac{1}{1393}\cdot\dfrac{816}{166463}}=\dfrac{-1}{239}}.

On trouve enfin : {\tan(4a-2b+c)=\dfrac{\dfrac{120}{119}-\dfrac{1}{239}}{1+\dfrac{120}{119}\cdot\dfrac{1}{239}}=1.}

Donc {\tan(4a-2b+c)=1}, avec les inégalités : {0\lt 4a-2b\lt 4a-2b+c\lt 4a+c\lt \dfrac45+\dfrac{1}{1393}\lt \dfrac\pi2}Ainsi {0\lt 4a-2b+c\lt \dfrac\pi2} et {\tan(4a-2b+c)=1}.

On en déduit : {4a-2b+c=\dfrac\pi4}.