Dérivée nième (1/2)

Exercice 1.
Calculer les zéros de la dérivée {n}-ième de {f(x)=\dfrac1{1+x^2}}.
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On utilise une décomposition en éléments simples dans {\mathbb{C}(\text{X})}.

Pour tout {x} de {\mathbb{R}}, on a : {\dfrac{1}{1+x^2}=\dfrac{1}{(x+i)(x-i)}=\dfrac{i}{2}\Bigl(\dfrac{1}{x+i}-\dfrac{1}{x-i}\Bigr)}On sait que la dérivée {n}-ième de {\dfrac{1}{x+\alpha}} est {\dfrac{(-1)^n n!}{(x+\alpha)^{n+1}}}.

On en déduit : {\begin{array}{rl}f^{(n)}(x)&=\dfrac{i(-1)^nn!}{2}\Bigl(\dfrac{1}{(x+i)^{n+1}}-\dfrac{1}{(x-i)^{n+1}}\Bigr)\\\\&=\dfrac{i(-1)^nn!\bigl((x-i)^{n+1}-(x+i)^{n+1}\bigr)}{2(x^2+1)^{n+1}}\end{array}}Les zéros de {f^{(n)}(x)} sont donc ceux de {P_n(x)=(x-i)^{n+1}-(x+i)^{n+1}}.

On note {w_k=\exp2i\,\theta_k}, avec {\,\theta_k=\dfrac{k\pi}{n+1}} et {0\le k\le n}.

Les {\omega_k} sont les racines {(n+1)}-ièmes de 1.

On rappelle que pour tout {u,v} dans {\mathbb{C}}, on a :{u^{n+1}=v^{n+1}\Leftrightarrow\exists\, k\in\{0,\ldots,n\},\; u=\omega_k v}Pour tout {z} de {\mathbb{C}}, on peut donc écrire : {\begin{array}{rl}P_n(z)&=0\Leftrightarrow(z-i)^{n+1}=(z+i)^{n+1}\\\\&\Leftrightarrow\exists k\in\{0,\ldots,n\},\; z-i=\omega_k(z+i)\\\\&\Leftrightarrow\exists k\in\{1,\ldots,n\},\;z=i\dfrac{1+\omega_k}{1-\omega_k}\\\\&\qquad=i\dfrac{1+\text{e}^{2i\,\theta_k}}{1-\text{e}^{2i\,\theta_k}}=-i\dfrac{2\cos\,\theta_k}{2i\sin\,\theta_k}\\\\&\qquad=-\text{cotan}\,\theta_k\end{array}}Les {\,\theta_k} forment une suite strictement croissante de {]0,\pi[}.

Ainsi {f^{(n)}} possède {n} zéros distincts sur {\mathbb{R}} qui sont les : {x_k=-\text{cotan}\,\theta_k\text{\ avec\ }1\le k\le n}

Exercice 2.
Calculer la dérivée {n}-ième de {f(x)=x^{n-1}\ln x}.
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Pour tout {n\ge1}, posons {f_n^{(n)}(x)=x^{n-1}\ln x}.

On constate que {f_1'(x)=(\ln x)'=\dfrac1x}.

De même, {f_2''(x)=(x\ln x)''=(1+\ln x)'=\dfrac 1x}.

Montrons par récurrence que : {\forall n\ge1,\;\exists a_n\in\mathbb{R},\;g_n(x)=f_n^{(n)}(x)=\dfrac{a_n}x}C’est vrai si {n=1}.

Supposons que ce le soit pour un entier {n\ge1} fixé. Alors : {\begin{array}{rl}g_{n+1}(x)&=f_{n+1}^{(n+1)}(x)=(xf_n(x))^{(n+1)}(x)\\\\&=xf_n^{(n+1)}(x)+(n+1)f_n^{(n)}(x)\\\\&=xg_n'(x)+(n+1)g_n(x)\\\\&=-\dfrac{a_n}{x}+\dfrac{(n+1)a_n}{x}=\dfrac{na_n}{x}\end{array}}Ainsi {g_{n+1}(x)=f_{n+1}^{(n+1)}(x)=\dfrac{a_{n+1}}x}, avec {a_{n+1}=na_n}.

Cela prouve la propriété au rang {n+1} et achève la récurrence.

La relation {a_{n+1}=na_n}, et {a_1=1}, donnent : {\forall\, n\ge1,\; a_n=(n-1)!}.

Conclusion : pour tout {n\ge1}, on a {f_n^{(n)}(x)=\dfrac{(n-1)!}{x}}.

Exercice 3.
Calculer la dérivée {n}-ième de {f(x)=\sin(x\cos\alpha)\text{e}^{x\sin\alpha}}.
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On calcule la dérivée première de {f} : {\begin{array}{rl}f'(x)&=\bigl((\sin\alpha)\cos(x\sin\alpha)+(\cos\alpha)\sin(x\sin\alpha)\bigr)\text{e}^{x\cos\alpha}\\\\&=\sin(\alpha+x\sin\alpha)\text{e}^{x\cos\alpha}\end{array}}Montrons que pour tout entier {n}, on a : {f^{(n)}(x)=\sin(n\alpha+x\sin\alpha)\text{e}^{x\cos\alpha}}La propriété est vraie pour {n=0} et {n=1}.

Supposons qu’elle le soit pour {n\ge0} donné. On en déduit : {\begin{array}{rl}f^{(n+1)}(x)&=\dfrac{\text{d}}{\text{d} x}\,\bigl(\sin(n\alpha+x\sin\alpha)\text{e}^{x\cos\alpha}\bigr)\\\\&=\bigl((\sin\alpha)\cos(n\alpha+x\sin\alpha)+(\cos\alpha)\sin(n\alpha+x\sin\alpha)\bigr)\text{e}^{x\cos\alpha}\\\\&=\sin((n+1)\alpha+x\sin\alpha)\text{e}^{x\cos\alpha}\end{array}}ce qui prouve la propriété au rang {n+1} et achève la récurrence.

Il y a une autre démonstration, qui utilise les fonctions à valeurs complexes.

Posons en effet {g(x)=\text{e}^{i x\sin\alpha}\text{e}^{x\cos \alpha}=\text{e}^{\omega x}} avec {\omega=\text{e}^{i\alpha}}.

Alors {f(x)=\text{Im} g(x)} et, pour tout {n} : {\begin{array}{rl}g^{(n)}(x)&=\omega^n\text{e}^{\omega x}=\text{e}^{i n\alpha}\text{e}^{\omega x}\\\\&=\exp(i(n\alpha+x\cos\alpha))\text{e}^{x\cos\alpha}\end{array}}On en déduit, pour tout {n} de {\mathbb{N}} :
{\begin{array}{rl}f^{(n)}(x)&=\text{Im} g^{(n)}(x)\\\\&=\text{Im}\Bigl(\exp\bigl(i(n\alpha+x\cos\alpha)\bigr)\text{e}^{x\cos\alpha}\Bigr)\\\\&=\sin(n\alpha+x\sin\alpha)\text{e}^{x\cos\alpha}\end{array}}